110年 - 110 國立嘉義大學_碩士班(乙組)招生考試試題_應用數學系：機率統計#146105

1. 在 40 m² 之地毯中，平均可發現 2 個不合格點，今檢驗 20 m² 之地毯，發現 1 個不合格點之機率為何？(10 分)

2. 某種產品之平均不合格率為 0.01，今抽取 n =100 件之樣本，請問其中剛好有 1 件不合格品之機率為何？(10 分)

3. 若 Z N~ (0,1) 具有機率密度函數為 fz() 及累積分配函數為 Fz() ，試求 EFZ [ ()]為何？(10 分)

4. Let X be an RV such that \( P(a \le X \le b) = 1 \) where \( -\infty < a < b < \infty \). Show that \( \operatorname{Var}(X) \le \frac{(b-a)^2}{4} \). (10 分)

5. Consider the joint pdf of (X, Y)
\[ f(x) = \begin{cases} xe^{-x(1+y)} & x \ge 0, y \ge 0 \\ 0 & \text{otherwise.} \end{cases} \]
Find the \( E(Y|X=x) \). (10 分)

1. 電池的壽命標準差σ 已知為 25 小時，今隨機抽查 100 個，所得壽命之平均數 為 x = 800小時，試以α = 5%，計算電池平均壽命µ 的信賴區間。(10 分)

2. 利用 30 個樣本得知 CNC 銑床之維修時間的標準差為 0.22 小時，試以α =1% 檢定維修時間之變異數小於 0.05。(10 分)

3. Let X be a random variable with pdf

\[ f(x) = \begin{cases} 1, & \text{if } x \in [\theta - \frac{1}{2}, \theta + \frac{1}{2}] \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} \]
Derive the MLE of \( \theta \). (10 分)

4. Let \( X_1, ..., X_n \) be independent RVs having the Negative Exponential distribution with parameter \( \theta \in (0, \infty) \), and set \( U = \sum_{i=1}^n X_i \). Show that the RV \( U \) is distributed as Gamma with parameters \( (n, \theta) \) and that the RV \( 2U/\theta \) is distributed as \( \chi^2_{2n} \). (10 分)

(a) Show that cov(\( \hat{\beta}_0, \hat{\beta}_1 \)) =? ( 5 分 )

(b)Show that \( \text{cov}(\bar{y}, \hat{\beta}_1) = 0 \) (5 分)