114年 - 114 國立嘉義大學_碩士班(乙組)招生考試試題_應用數學系：機率統計#144147

i. (2分) 試求 \(X_1\) 與 \(X_2\) 的聯合機率密度函數。

ii. (5 分) 請計算\(E(X_1X_2)\) (10 分) 

iii. (10 分) 令 \(W_1 = \frac{x_2}{x_1}\) & \(W_2 = X_2\)，試求 \(W_1\) 與 \(W_2\) 的聯合機率密度函數。

iv. (3 分) W₁ 與 W₂ 是否獨立？請說明原因。

2. (10 分) 假設連續型隨機變數 ? 且服從以下機率密度函數：
\[
f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{2\pi}, & 0 \le x \le 2\pi \\
0, & \text{其他}
\end{cases}
\]
試求 \( Y = X^2 + 2X + 1 \) 之機率密度函數。

i. (5 分) 試求X|X > 2 的條件機率密度函數。

ii. (2 分) 試求條件期望值 E[X|X > 2]。

iii. (3 分) 試求條件變異數 Var[X|X > 2]。

4. (10 分) 假設 \( X_1, ..., X_n \stackrel{iid}{\sim} N(\mu, \sigma^2) \) 且 \( \mu \in \mathbb{R} \& \sigma^2 \in (0, \infty) \)。令
\[ \overline{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \]
\[ S_n^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X}_n)^2 \]
試證 \( \frac{\sqrt{n}(\overline{X}_n - \mu)}{S_n} \xrightarrow{D} N(0,1) \) 當 \( n \to \infty \)。

二、 統計部分：
5. (10 分) Suppose \(X_1, X_2, \dots, X_n\) are i.i.d. random variables following the exponential distribution with PDF
\[ f(x; \lambda) = \lambda e^{-\lambda x}, x \ge 0, \lambda > 0. \]
Find the MLE of \(\lambda\).

(a) (10 分) Find an unbiased estimator for μ.

(b) (10 分) Show that your estimator is the UMVUE for μ.

(a) (10 分) State the null and alternative hypotheses for a one-sample t-test.

(b) (10 分) Conduct the t-test at a significance level of α=0.05. Include the calculation of the test statistic and the decision rule.