110年 - 110 臺北市市立普通型高級中等學校正式教師聯合甄選:數學科#98674

1. 下列關於數列與級數的述敘，選出正確的選項。 (A)一個數列有可能同時是等比數列也是等差數列 (B)一個數列有可能不是等比數列也不是等差數列  (C)若發散，則 必發散  (D)若收斂，則 必收斂 (E)若收斂，則必收斂 

2. 在複數平面上， z , z² , z³ 構成一個直角三角形的三個頂點，且|z| = 2 。請問下列哪些選項，可以是主輻角 Arg( z) 的值？ (A) π (B) (C) (D) (E)

3. 點A(e,1)在函數 f ( x) = ln x 的圖形上，圓Q (Q為該圓的圓心)與 y = f ( x) 的圖形在A 點有共同的切線，且圓 Q 又與x軸相切於B點。選出正確的選項。 (A) 以A為切點的切線斜率為 (B) 直線的方程式為 y -1 = e( x - e)  (C) Q點落在拋物線 y = ( x - e)² + 上  (D) Q點在的中垂線上 (E) B點坐標為 ()

4. 在可行解區域上，目標函數 P( x, y) = (a ≥2b > 0) 的最大值為1。 選出正確的選項。  (A) (B) (C) (D) 5a + b 的最小值為60 (E) 5a + b 的最小值，發生在 a = 2b 時 

2. 求方程式 的所有解x。

4. 已知 f (x) 為10次多項式，且滿足 ，k=1,2,3,... ,11 ，求 f (12) 之值。

5. 已知A為的子集合，且A中任兩個元素之和都不為6的倍數，求集合A的元素個數之最大值。

6. 已知 △OAB 內接於拋物線 y²= 8 x ，其中 O 為原點，且此內接三角形的垂心恰為拋物線的焦點，求 △OAB 的外接圓之圓心坐標。

7. 已知 n 為正整數，且方程式 的10個複數根為(k= 1, 2,3, 4,5) ，  求 。（以 n 表示） 

8. 如下圖，ABCDE為一正五邊形，令 △ABE 為三角形ABE的面積。 試求：正五邊形 ABCDE 的面積與三角形 ABE 的面積之比值，即 之值。

2. 在坐標平面上， A, B, C 三點形成直角三角形，其中 ∠C=90° ， =60，又過 A 與 B 兩點的中線方程式分別為 y= x+ 2021 與 y = 2x+110。試求三角形 ABC 的面積。

3. 如右圖所示，正三角形ABC的邊長為1，且D、E分別為邊上的點。將三角形ADE沿線段 摺疊時， 頂點A恰落在邊上，試問在此條件下，線段的最 小值等於多少？

(1)證明：, n ≥2 。 

(2)試求 的值。