115年 - 115 一般警察特種考試_二等_刑事警察人員犯罪分析組：計算機數學（包括離散數學、機率與統計）#140885

一、Bezout’s Theorem 描述當 a,b 是正整數時，存在有兩個整數 s 和 t，使得
gcd(a,b) = sa + tb，gcd(a,b)是 a,b 的最大公因數。已知 gcd(252,198) = 18，
請找出 s 和 t，使得 252s + 198t = 18。(12 分)

二、一個數列[1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…, ,30,…,30](30 個 30)，請問，這些數的中位數(median)為何？(10 分)

三、請解下列的遞迴函數：(12 分)
an = 3a_n-1 + 1, a₀ = 1

四、已知，0! = 1 ! = 1，n! = 1✖ 2 ✖ 3 ✖ … ✖ n，C(n,i)= ，
i !(n-i )!
C(n + 1,i) = C(n,i - 1) + C(n,i)。經計算，當 n = 10 時，C(10,i), i = 0, 1, …, 10個別為 1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1。請問，在 C(12,i), i = 0, …, 12這十三個數字中，有幾個一位數(也就是小於 10 的數)？有幾個二位數(也就是大於等於 10 但小於 100)？有幾個三位數？有幾個四位數？(10 分)

五、擲一枚公平的骰子，設隨機變數 X 為骰子出現的點數，求 X 的期望值
E(X)和變異數 Var(X)。(10 分)

(一)恰好有 1 人相信他看過 UFO。

(二)有 2 到 3 人相信他看過 UFO。

(三)至少 3 個人以上(不含 3)相信他看過 UFO。

七、使用樹圖(tree diagram)來決定集合{3,7,9,11,24}中有幾個子集合的元素總和小於 28。(12 分)

(一)說明如何利用下表(該表是計算 standard normal distribution) ，將學生成績換算成 standard normal distribution？

(二)計算出該班 200 名學生中，估計個別有多少人被死當？有多少人活當？(經百分比計算出人數後四捨五入) 。