115年 - 115 高等考試_二級_醫學工程：工程數學#145825

科目：工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率) | 年份：115年 | 選擇題數：0 | 申論題數：11

試卷資訊

所屬科目：工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)

選擇題 (0)

申論題 (11)

一、試求常微分方程式 y+2 y  2 y  4e x sec3 x 之通解。
（20 分）
二、試以拉普拉斯轉換（Laplace Transform）求積分方程式
y (t )   0 y ( ) cosh(t   )d  2t  2e t , t  0. 之解。
t
（10 分）
三、曲線 C 是以原點 (0, 0) 為圓心，半徑為 2，沿逆時針方向的一簡單封閉
圓。試以剩值定理（Residue Theorem）回答下列問題：
（每小題 10 分，共 20 分）
(一)求  2
10 z
dz 之值。
C ( z  1)( z  3)

10 z
d (ln( 2 ))
( z  1)( z  3)
(二)求  dz 之值。
C dz

0 1
四、一矩陣 A 為 A   。
  2  3 
(一)試求其對角化矩陣（Diagonal Matrix）。（5 分）
(二)試求 e At , t  0 。（10 分）
  
五、一向量函數為 F  9 xi  5 yj  4 zk 。（每小題 10 分，共 20 分）
(一)試求其旋度（Curl）值與散度（Divergence）值。
(二)試求其面積分  F  ndA ，其中 n 為 dA 指向外的法線方向單位向量，
S

且此有界封閉曲面的表示式為 S : x 2  y 2  4, 2  z   。
六、X，Y 與 Z 為三隨機變數（Random Variables），其結合機率密度函數
（Joint Probability Density Function）為
  x 2y  3z
p ( x, y, z )  ke ,0  x  ,0  y  ,0  z  . 。
 0, 其他區域.
（每小題 5 分，共 15 分）
(一)試求 k 值。
(二)試求其邊際平均值（Marginal Mean），E{Z}。
(三)試求其期望值（Expected Value），E{X3Y2Z}。