115年 - 115 國家安全情報特種考試_三等_電子組（選試英文）：工程數學#140894

1.給定兩向量 u = [1 0 -1]^T 及 v =[ 0 -1 1]^T ，下列選項何者錯誤？  (A)此兩向量的範數(norm)的和為 2√ 2 (B)此兩向量的內積(inner product)為 -1 (C)此兩向量的外積(cross product)為 [ -1 1 -1] ^T  (D)此兩向量的夾角為   

2. 矩陣 A 具有特徵多項式(characteristic polynomial) p(λ ) = (λ -1)(λ + 1)(λ- 2) ² (λ + 2)² (λ - 3) ，下列選項何者正確？

(A)矩陣 A 的行列式值(determinant) det ( A ) = p(0)

(B)矩陣 A 的維度(dimensions)為 4

(C)矩陣 A 的行列式值(determinant) det ( A ) = -48

(D)矩陣 A 的秩(rank)為 5

3.給定兩向量 u = [1 0 1]^T 及 v = [ 0 1 1]^T ，分解 u 為 u₁ + u₂ ，其中 u₁ 為 u 在 v 的垂直投影(orthogonal   projection)，則下列選項何者錯誤？ (A)向量 (B)向量 (C)向量 u2 的範數(norm) (D)兩向量 u₁ , u₂ 的內積(inner product)為零 

4.令 B = {u₁ , u₂ } 及 B' = {v₁ , v₂ } 為 兩組基底 ( bases ) ， 其中 u₁=[  0 - 1]^T , u2 = [ -1 0]^T ,  v₁ = [ -1 0]^T , v2 = [ 0 - 1]^T ，若 T_B→B' 是 B 到 B' 的線性轉換矩陣且 T_{B→ B'} = ，則下列選項何者正確？ (A) a, b 兩數乘積 ab = 1 (B) b, c 兩數乘積 bc = 1 (C) a, c 兩數乘積 ac = 1 (D) c, d 兩數乘積 cd = 1

5. 令 T : 為一個線性映射函數，其定義為 T ( x, y) = ( x + y, x + 2 y) ，則下列選項何者錯誤？ (A)函數 T 之零核空間(null space)的維度為 0 (B)函數 T 的秩(rank)為 2 (C)函數 T 為一對一函數 (D)函數 T 之行空間(column space)的維度為 0

6. A 、 B 和 C 均為 2 × 2 矩陣且 AC = BC ，上標 T 代表矩陣轉置，則下列敘述何者錯誤？ (A) C ^T A^T = C^T B^T (B) A( BC ) = ( AB)C (C)A=B (D) ( A + B)C = AC + BC

7. 向量 V₁ = [1, 2, 0] V₂=[ -2, 2, 1] ，則下列何者正確？ (A) V₁ 和 V₂ 互相平行 (B) V₁ 和 V₂ 可展開 3 維空間中的任一向量 (C) V₁ 和 V₂ 線性獨立 (D) V₁ 和 V₂ 互相垂直 

8. ，下列關於 A 的特徵值(eigenvalue)與特徵向量(eigenvector)的敘述何者錯誤？ (A) 3 是特徵值 (B) 4 是特徵值 (C) 是特徵向量 (D) 是特徵向量 

9. 複變函數(complex function) f ( z ) = sec(z ) ，則此函數在 z = 的殘餘數(residue)為何？  (A) -1 (B)1 (C) -2 (D)2 

10. 複變函數(complex function) ，若 C 為逆時鐘繞圓周 | z - i |= 2 的路徑，且積分 ∮_C f ( z )dz = a + bi ，其中 a, b 為實常數，且 i = √-1 ，則下列選項何者正確？ (A)a = π (B) a = 2π (C)b = π (D) b = 2π  

11. 給定複變數函數， 針對區域 | z | > 2 對函數 f ( z) 展開可得 f ( z ) = az ^-2 + bz ^-3 + cz ^-4 + dz ^-5 +... ，其中 a, b, c, d 為實常數，則下列選項何者錯誤？ (A)a =1 (B)b = 3 (C)c = 7 (D) d = 13

12. 複變函數 f ( x + iy ) = x ² + ay ² + i 2 xy ， a 為常數，如果 f 為可解析的函數(analytic function)，下列何者正確？ (A) a = -2 (B) a = -1 (C)a =1 (D)a = 2 

13. 下列何者為二階常微分方程式 4 x 2 2  4 x  5 y  0 的解( c1 , c2 為任一實數(real values))？ dx dx 5 1 5 1 5 1 5 1     (A) y  c1 x 2  c2 x 2 (B) y  c1 x 2  c2 x 2 (C) y  c1 x 2  c2 x 2 (D) y  c1 x 2  c2 x 2

14. 考慮微分方程式 ( y  x 2 ) dx  xdy 使滿足 x  1, y  2 的解為 y  ax 2  bx c ，其中 a , b, c 為實常數，則 下列何者正確？ (A) a  1 (B) b  2 (C)c  2 (D)c 1 1

15. 函數 f (t ) 之拉普拉斯轉換(Laplace transform)為 L { f (t )} ，令 L{ f (t )}  2 ，則下列何者正確？ s ( s  1) (A) f (t )  e t  t  1 (B) f (t )   e t  t  1 (C) f (t )  e t  t  1 (D) f (t )   e t  t  1

16. y   y  x , y (0)  7 ，下列何者為正確解答？ (A) y  x  2  9e  x (B) y  x  1  8e  x (C) y  x 2  1  8e  x (D) y  x 2  2  9e  x

17. 一階常微分方程式 ( cos (x )  2 xy )  (e y  x 2 )y   0, y (0)  1 下列何者為正確解答？ (A) e y  x 2 y  sin (x )  e (B) e  x  x 2 y  sin (x )  e (C) e y  x 2 y  sin ( y )  e (D) e  x  x 2 y  sin ( y )  e

18. 已 知 隨 機 變 數 X 和 Y 的 聯 合 機 率 密 度 函 數 ( Joint probability density function ) 為 kx 2 y, 0  x  y  1 f X ,Y (x, y )   ，其中 k 為實數，則下列何者正確？ 0, 其他 (A) k =10 (B)在 0  y  1 , fY ( y )  5 y 3 5 (C)隨機變數 X 之期望值(expected value)為 8 3 (D)隨機變數 Y 之期望值(expected value)為 8  1   3  x 1  , x  1, 2 

19. 隨機變數 X 之機率質量函數 PX (x )   4   4  ，則 X 之期望值為何？ 0, 其他  (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 0.8, y0 0.5, y  0   0.4, x  0

20. 條件機率質量函數 PY | X ( y | 0)  0.2, y  1 PY | X ( y | 2)  0.5, y  1 ，其中 PX ( x)  0, 0, 0.6, x  2  其他  其他 則 PX |Y (0 | 0)  ？ 4 8 16 18 (A) (B) (C) (D) 31 31 31 31