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工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
> 95年 - 95 高等考試_三級_電力工程、電子工程、醫學工程：工程數學#36564
95年 - 95 高等考試_三級_電力工程、電子工程、醫學工程：工程數學#36564
科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率) |
年份：
95年 |
選擇題數：
20 |
申論題數：
9
試卷資訊
所屬科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
選擇題 (20)
i = √−1，下列那一級數（series）收斂？
2 有一個平面包含
兩個向量，求出向量
與該平面法線的夾角應為何？ (A) θ =cos
−1
0 (B) θ =cos
−1
1 (C) cos
−1
θ =4/ √30(D) θ =cos
−1
1/√30
3 下列何組向量可成為 R
2
空間的單範正交基底（orthonormal basis）？ (A){(1/ √2, 1/ √2)
T
,(1, −1)
T
} (B){ (−1/ 2, √3 / 2)
T
,( √3 / 2, −1/ 2)
T
} (C){ (1, 1)
T
,(1, −1)
T
} (D){ (1/ √2, −1/ √2)
T
,(1/ √2, 1/ v2)
T
}
4 假設
，求
方向之單位向量為何？
5 下列敘述何者正確？ (A)如果 A 是赫米特矩陣（Hermitian matrix），並且 A
2
= I，I 是單位矩陣，則 A 也是么正矩陣（unitary matrix） (B)赫米特矩陣的行列式值（determinant）不一定是實數（real） (C)令
表示矩陣M 之所有特徵值（eigenvalue）的總和。現給予A、B 兩矩陣，則
(D)如果一個矩陣有重複的（repeated）特徵值，則此矩陣無法對角化（diagonalizable）
6 試求微分方程式 x
2
dy − 2ydx= −( y
2
+2x)dy 之通解，其中 c 為任意實數。 (A) y = 2cos
− 1
(x / y) + c (B) y =2cot
−1
( x/ y) + c (C) y = 2sec
−1
(x /y ) + c (D) y =2 tan
−1
(x / y) + c
7 計算
之值，其中 C 表示一個正方形，其邊線通過點(±2, 0)及(0, ±2)，逆時鐘方向（counterclockwise）。 (A)π (B) 0 (C) i2π (D) iπ
8 若一系統之轉移函數為G( s) = 1/[s
2
+ 3s +2 ] 且輸入信號為 x(t) = sin 2t ，則輸出信號 y(t)之拉氏轉換 Y(s)為： (A) s/[(s +1 )( s +2 )(s
2
+2 )] (B)2 /[(s+1 )(s +2 )(s
2
+2 )] (C) s/[(s+1)(s +2 )(s
2
+4 )] (D)2 /[( s +1)(s +2 )(s
2
+4 )]
9 下列何者與 L{f (t)u(t − a) } 相等，其中 L{•}代表拉氏轉換（Laplace Transform）？ (A)e
−as
L{ af (t)} (B)e
−as
L{df (t) / dt} (C)e
−as
L{af (t − a)} (D)e
−as
L{f (t+ a)}
10 若微分方程式 y′′ − 4y′ + 4y = 25sin x 且 y(0) = 3、 y′(0) = 2，試求其解？ (A) y= e
2x
e +2xe
2x
+ cosx (B) y= 3e
2x
− 5xe
2x
+ sin x (C) y= 2e
2 x
+2xe
2x
+ cosx + sinx (D) y= −e
2x
+xe
2x
+3sin x + 4cos x
11 下列那一函數滿足 Laplace 方程式
？ (A)u = sin x cos y (B) u = tan
−1
( y/x ) (C) u = x
2
+ y
2
(D)u = sinh x cosh y
12 f (t) 是週期 2π的函數， 在 −π ≤ t < π 之間定義為 f (t) = │t│。 將 f (t) 的 傅立葉級數（Fourier series）表示成
，求 a
0/
2 之值為何？ (A)π/2 (B)π (C) 2π (D) 4π
13 給定一個連續隨機變數 X，它的機率密度函數為
，則條件期望值 E(X | X ≤ 6)為何？ (A) 3.0 (B) 5.0 (C) 6.0 (D) 10.8
14 二維隨機變數 X 與 Y 的聯合機率密度函數（joint probability density function）為
。則 X
2
+Y
2
< 1的機率為何？ (A) 1/16 (B) 1/8 (C) 3/16 (D) 1/4
15 L{•} 代表拉氏轉換（Laplace Transform），令
，則 f(π/2) 等於多少？ (A) 0 (B)1−√2/2 (C) 1 (D) 2
16 令 P
n
為所有次數小於 n 之多項式集合，C
n
[a b] , 為所有可 n 次微分之函數 f (x), x∈[a,b]所成的集合。R
n
表示 n 維實數 向量， R
n×n
表示 n 階實數矩陣。則下列敘述何者正確？ (A) (1,1,0)
T
,(1,0,−1)
T
,(1,−1,2)
T
在 R
3
線性相依（linearly dependent） (B) x
2
， x │x│，此二向量在C
1
[ −1,1] 線性相依 (C)
在 R
2×2
線性獨立（linearly independent） (D) x +1, x +2 ,x
2
−1 在 P
3
線性獨立
17 下列那一個向量垂直於平面 x + 2y + 3z = 6？
18 解微分方程式
。 (A) xy = xe
y
+ ce
y
(B) y =ye
y
+ e
x
+ c (C) x = ye
y
+ ce
y
(D) ye
y
+ xe
x
=c
19 給定一個 離 散隨機變 數 （ discrete random variable ） X ，它的機 率 質 量 函 數 （ probability mass function ） 為
。定義事件（event）B 為 B = {3,4,5,6}，求條件機率Pr(X = 6 | B) 為何？ (A) 0 (B) 0.10 (C) 0.20 (D) 0.25
20 解微分方程式 xy′ = y
2
+ y −2 。
申論題 (9)
【已刪除】一、若 C 表示一個 │z −1│ = 2的圓，試求圍線積分
。（5 分）
【已刪除】⑴求
之傅立葉轉換
。（5 分）
【已刪除】⑵計算
。（5 分）
【已刪除】⑶求
之值。（5 分）
⑴ A 之特徵值（eigenvalues）。（3 分）
A 之特徵向量（eigenvectors）。（3 分）
⑶計算 = e
−A
？（4 分）
【已刪除】四、有一表面 S 如下 S: x
2
+ y
2
+ z
2
=1 , z ≥0 ，假設有一向量函數為
，請計 算
之值。（10 分）
五、求出微分方程式 y ′′ + 9y = x cos x的通解。（10 分）
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兩個向量，求出向量 
與該平面法線的夾角應為何？
(A) θ =cos −10 (B) θ =cos −11 (C) cos−1 θ =4/ √30(D) θ =cos−11/√30
，求 
方向之單位向量為何？
表示矩陣M 之所有特徵值（eigenvalue）的總和。現給予A、B 兩矩陣，則
(D)如果一個矩陣有重複的（repeated）特徵值，則此矩陣無法對角化（diagonalizable）
之值，其中 C 表示一個正方形，其邊線通過點(±2, 0)及(0, ±2)，逆時鐘方向（counterclockwise）。
(A)π (B) 0 (C) i2π (D) iπ
？ (A)u = sin x cos y (B) u = tan−1 ( y/x ) (C) u = x2 + y2 (D)u = sinh x cosh y
，求 a0/2 之值為何？
(A)π/2 (B)π (C) 2π (D) 4π
，則條件期望值 E(X | X ≤ 6)為何？
(A) 3.0 (B) 5.0 (C) 6.0 (D) 10.8
。則 X2 +Y2 < 1的機率為何？
(A) 1/16 (B) 1/8 (C) 3/16 (D) 1/4
，則 f(π/2) 等於多少？
(A) 0 (B)1−√2/2 (C) 1 (D) 2
在 R2×2 線性獨立（linearly independent） (D) x +1, x +2 ,x2 −1 在 P3 線性獨立
。
(A) xy = xey + cey (B) y =yey+ ex + c (C) x = yey + cey (D) yey+ xex =c
。定義事件（event）B 為 B = {3,4,5,6}，求條件機率Pr(X = 6 | B) 為何？
(A) 0 (B) 0.10 (C) 0.20 (D) 0.25
。（5 分）
之傅立葉轉換 
。（5 分）
。（5 分）
之值。（5 分）
，請計
算
之值。（10 分）