20.同第19題,試問當程式結束時,此程式印出之x值為何?
(A) -3
(B) 0
(C) 3
(D) 6 

21. 某系統之狀態方程式 ( state equations ) 為\[\begin{bmatrix}\dot{x}_1(t) \\\dot{x}_2(t)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1 & 0 \\-2 & 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1(t) \\x_2(t)\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1 \\1\end{bmatrix}u(t)\]為單位步階函數且初值條件為 \( x_1(0) = x_2(0) = 0 \) 時, 求 \( x_1(\infty) + x_2(\infty) = ? \)(A) 1(B) 2(C) 3(D) \( \infty \)

22. 某控制系統的狀態轉移矩陣 (state transition matrix) 為 \(\Phi(t) = \begin{bmatrix} e^{-t} & 1-e^{-t} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)，求反狀態轉移矩陣 (inverse state transition matrix) 的 5 次方，即 \((\Phi^{-1}(t))^5\) 為何？ (A) \(\begin{bmatrix} e^{t} & 1-e^{t} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\) (B) \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1-e^{t} & e^{t} \end{bmatrix}\) (C) \(\begin{bmatrix} e^{-5t} & 1-e^{-5t} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\) (D) \(\begin{bmatrix} e^{5t} & 1-e^{5t} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)

23. 某單位負回授系統，其開迴路轉移函數為 \( G(s) = \frac{k(s+1)}{s(s^2+2s+2)} \)，求 \( k \ge 0 \) 之根軌跡圖中，在 \( s = -1 + j \) 的離開角 (departure angle) 為何？ (A) -450 (B) 00 (C) 450 (D) 900

24. 一系統的動態方程式為 \[ \begin{bmatrix} \dot{x}_1(t) \\ \dot{x}_2(t) \\ \dot{x}_3(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \\ x_3(t) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} u(t) \] \[ y(t) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \\ x_3(t) \end{bmatrix} \] 其中 $x_1(t)$、$x_2(t)$、$x_3(t)$ 為狀態變數，$u(t)$ 為輸入，$y(t)$ 為輸出，對狀態變數 $x_3(t)$ 而言，下列敘述何者正確？ (A) 狀態變數 $x_3(t)$ 為可控制 (controllable) 且可觀測 (observable) (B) 狀態變數 $x_3(t)$ 為不可控制 (uncontrollable) 但可觀測 (observable) (C) 狀態變數 $x_3(t)$ 為可控制 (controllable) 但不可觀測 (unobservable) (D) 狀態變數 $x_3(t)$ 為不可控制 (uncontrollable) 且不可觀測 (unobservable)

25. 某單位負回授系統，其開迴路轉移函數為 \( G(s) = \frac{k}{s(s+\sqrt{2}k)} \)，其中 \( k>0 \)，若輸入為單位步階函數，求輸出響應中發生最大超越量 (maximum overshoot) 的時間 \( t_p \) 為何？(A) \( \pi \sqrt{\frac{2}{k}} \)(B) \( \pi \sqrt{\frac{k}{2}} \)(C) \( \frac{1}{\sqrt{2k}} \)(D) \( \sqrt{2k} \)

26. 某系統的狀態方程式為 \(\dot{\mathbf{x}}(t) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} \mathbf{x}(t) + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} u(t)\), 若 \(\mathbf{x}(0) = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\), 且輸入 \(u(t)\) 為 單位步階函數, 求 \(\mathbf{x}(t) = ?\) (A) \(\begin{bmatrix} 0.5 + 2e^{-t} - 1.5e^{-2t} \\ -2e^{-t} + 3e^{-2t} \end{bmatrix}, t \ge 0\) (B) \(\begin{bmatrix} 0.5 - e^{-t} + 0.5e^{-2t} \\ e^{-t} - e^{-2t} \end{bmatrix}, t \ge 0\) (C) \(\begin{bmatrix} 0.5 + e^{-t} - e^{-2t} \\ -e^{-t} + e^{-2t} \end{bmatrix}, t \ge 0\) (D) \(\begin{bmatrix} 2e^{-t} - e^{-2t} \\ -2e^{-t} + e^{-2t} \end{bmatrix}, t \ge 0\)

27. 某系統的轉移函數為 \( G(s) = \frac{3}{s^2 + 3s + 4} \)，當輸入為 \( \cos(2t) \) 時，該系統的穩態輸出響應為何？ (A) 0 (B) 0.5 cos(2t) (C) 0.5 sin(2t) (D) 0.75 cos(2t)

28. 某系統之轉移函數為 \( M(s) = \frac{9}{s^2 + 3s + 9} \), 求共振峰值 ( resonance peak ) 為何？ (A) \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) (B) 1.5 (C) \(\sqrt{3}\) (D) 2

29. 某單位負回授系統中，其開迴路轉移函數為 \( G(s) = \frac{k}{s(1+s)(1+9s)} \)，求 \( k>0 \) 系統的相位交越頻率 ( phase crossover frequency ) \( \omega_c \) ( rad / sec ) 為何？ (A) \( \frac{1}{9} \) (B) \( \frac{1}{3} \) (C) 1 (D) 9

30. 同第 29 題, 若 \( k = \frac{1}{9} \), 則系統之增益邊限 (gain margin) 爲何? (A) 0 dB (B) 10 dB (C) 20 dB (D) \( \infty \) dB

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