32.地球的半徑約為月球半徑的 4 倍，地球的質量約為月球質量的 81 倍，若想分別從地球與月球的表面脫離其重力場 束縛所需要的脫離速度分別是 v(地)與 v(月)，試問：「v(地)÷v(月)」的數值是多少？
(A)9/2
(B)81/4
(C)9×2
(D)81×4

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統計： A(75), B(41), C(14), D(2), E(0) #3240482

詳解 (共 2 筆)

#6285209
脫離速度：V=(2GM/R)開根號   ...
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#6206132

要解這個問題，我們需要計算地球和月球的脫離速度（逃逸速度）之比。逃逸速度公式為：

v=2GMRv = \sqrt{\frac{2GM}{R}}v=R2GM​​

其中：

  • GGG 是萬有引力常數，
  • MMM 是天體的質量，
  • RRR 是天體的半徑。

對於地球和月球，我們分別記為：

  • v地v_{\text{地}}v地​ 是地球的脫離速度，
  • v月v_{\text{月}}v月​ 是月球的脫離速度。

我們知道：

  • 地球的半徑 R地R_{\text{地}}R地​ 約為月球半徑 R月R_{\text{月}}R月​ 的 4 倍，即 R地=4R月R_{\text{地}} = 4 R_{\text{月}}R地​=4R月​。
  • 地球的質量 M地M_{\text{地}}M地​ 約為月球質量 M月M_{\text{月}}M月​ 的 81 倍，即 M地=81M月M_{\text{地}} = 81 M_{\text{月}}M地​=81M月​。

使用逃逸速度公式，我們可以寫出地球和月球的脫離速度：

v地=2GM地R地v_{\text{地}} = \sqrt{\frac{2 G M_{\text{地}}}{R_{\text{地}}}}v地​=R地​2GM地​​​

v月=2GM月R月v_{\text{月}} = \sqrt{\frac{2 G M_{\text{月}}}{R_{\text{月}}}}v月​=R月​2GM月​​​

現在，我們需要求 v地v月\frac{v_{\text{地}}}{v_{\text{月}}}v月​v地​​ 的比值：

v地v月=2GM地R地2GM月R月\frac{v_{\text{地}}}{v_{\text{月}}} = \frac{\sqrt{\frac{2 G M_{\text{地}}}{R_{\text{地}}}}}{\sqrt{\frac{2 G M_{\text{月}}}{R_{\text{月}}}}}v月​v地​​=R月​2GM月​​​R地​2GM地​​​​

這可以簡化為：

v地v月=M地/R地M月/R月\frac{v_{\text{地}}}{v_{\text{月}}} = \sqrt{\frac{M_{\text{地}} / R_{\text{地}}}{M_{\text{月}} / R_{\text{月}}}}v月​v地​​=M月​/R月​M地​/R地​​​

代入已知的質量和半徑比例：

v地v月=81M月/(4R月)M月/R月\frac{v_{\text{地}}}{v_{\text{月}}} = \sqrt{\frac{81 M_{\text{月}} / (4 R_{\text{月}})}{M_{\text{月}} / R_{\text{月}}}}v月​v地​​=M月​/R月​81M月​/(4R月​)​​

v地v月=814\frac{v_{\text{地}}}{v_{\text{月}}} = \sqrt{\frac{81}{4}}v月​v地​​=481​​

v地v月=92\frac{v_{\text{地}}}{v_{\text{月}}} = \frac{9}{2}v月​v地​​=29​

因此，地球和月球的脫離速度之比是 9/2。正確答案是 (A) 9/2。

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