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115年 - 115 臺北市立內湖高級工業職業學校_正式教師甄試:數學科#139221
> 申論題
題組內容
2. 正弦定理與餘弦定理具有等價關係,設△ABC中,
= c、
= a、
= b,請從下列兩式中擇一證明:
(2) 已知a
2
= b
2
+ c
2
− 2bccosA,證明
。
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1. 方程式= x2 + x − 89的所有實根為__________。
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4. 平行四邊形ABC?中, = √37,若兩對角線的其中一個交角為60°,則ABCD的面積為__________。
#571421
5. 小明班上有n位同學,座號分別為1,2,3, … , n。講桌上的籤筒中原有全班同學的座號籤各一支,頑皮的小明偷偷把自己的籤拿掉。已知剩下n − 1支籤的編號平均數為,若小明的座號為x,則數對(n, x)為__________。
#571422
6. 將正整數n表示成一個以上的正整數之和,稱為「分拆」;接著計算分拆後各正整數的乘積,稱為「分拆乘積」。舉例來說,(1 + 1 + 3)、(1 + 4)、(1 + 2 + 2)分別是n = 5的其中三種分拆方式,它們的分拆乘積分別為3、4、4。求n = 2026的所有分拆方式中,其分拆乘積的最大值為__________。
#571423
7. 設實數 a, b, c, d 滿足 a2 + b2 = 2,且 (c + 2)2 + (d + 1)2 = 3,則 (ad − bc)2 的最大值為__________。
#571424
8. 箱中有n顆球,編號1到n,每球被抽到的機率均等。假設從中同時抽出兩球,兩球編號差的期望值為E1;而從中抽出一球後放回,再抽一球,兩次抽球編號差的期望值為E2,則(E1 − E2)之值為__________。
#571425
9. 平行四邊形ABCD中,已知AB = 6,且△ABC的外接圓半徑為4,則對角線的長度之最大值為__________。
#571426
10. 設拋物線y = x2的焦點為F,在拋物線上取一點P1,過P1作鉛直線交x軸於點X1,連交拋物線於點P2,過P2作鉛直線交x軸於點X2,連交拋物線於點P3,依此類推可得到一系列的點P1, P2, P3, … , Pn與X1, X2, X3, … , Xn。求 之值為__________。
#571427
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