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研究所、轉學考(插大)-基礎數學
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107年 - [無官方正解]107 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系：基礎數學#147052
> 申論題
(2). (8%) Find the limit for \( f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^4 + 5\cos(x^2)}{x^4} \), where \( k \) is some positive finite constant.
相關申論題
(3). (8%) Find the integral \(\int_{x + \sqrt{1 + x + x^2}} dx\).
#603675
(4). (8%) Find the definite integral \(\iint_{R} \ln(x^2 + y^2) \, \mathrm{d}A\), \(R = \{(x, y) | 0 \leq x^2 + y^2 \leq 9, x \geq 0, y \geq 0\}\).
#603676
(5). (8%) Prove or disprove whether \( f(x, y) = \frac{2x^2y}{x^2 + y^2} \), if \( (x, y) \neq (0, 0) \), and \( f(0, 0) = 0 \) is differentiable at \( (0, 0) \) or not?
#603677
(6). (8%) Find the limit \(\lim_{n\to \infty}\sum_{k = 1}^{n}\ln \sqrt[n]{(1 + \frac{2k}{n})}\).
#603678
二、所有題目請敘述計算過程，無計算過程不給分 (1). Let A = $$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}$$ (a) Write down the characteristic polynomial of \( A \) and use it to find the eigenvalues. (5%)
#603679
(b) Find the eigenspaces of A. (10%)
#603680
(c) Orthogonally diagonalize the matrix A. (You need to find out an orthogonal matrix P and a diagonal matrix D such that \( \mathrm{P}^{\mathrm{T}}\mathrm{A}\mathrm{P} = \mathrm{D} \).) (10%)
#603681
(2). Let B, C be two bases for P₂. If B = {x, 1 + x, 1 - x + x²} and the change-of-basis matrix from B to C is $$P_{C \leftarrow B} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix},$$ please find C. (10%)
#603682
(3). Let S = {v̂₁, v̂₂, ..., v̂ₙ} be a basis for Rⁿ and A be a n × n nonsingular matrix. (a) Please show that \(\{A\vec{v}_1, A\vec{v}_2, \dots, A\vec{v}_n\}\) is also a basis for \(R^n\). (12%)
#603683
(b) Is (a) still true if A is singular? If not, please give a counter example. (3%)
#603684
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