(e) ∫ sin⁵x cos² xdx.

4. Find if tan= x + y.

5. Find the extreme value of the function f(x, y, z) = x + 2y + 3z subject to constraints x - y + z = 1 and x2 + y2 = 1.

(a) Find possible eigenvalues of A.

(b) Determine the rank of A.

7. Prove that if Q is an orthogonal matrix, then det(Q) = 1.

8. Let V and W be two vector spaces and let T : V → W denote a linear transformation. Suppose that N(T) and R(T) are null space and range of T, respectively. Show that N(T) and R(T) are subspaces of V and W, respectively.

9. Let A =. Compute for any positive integer n.

    Notation: R is the set of real numbers, and C is the set of complex nunbers. If F=R or C, denote by (F) the n n matrices with entries in F. If A ∈ (F),denote by ∈ (F) the transpose of A. Denote by the n x n identity matrix and the n x n zero matrix. Problem 1 :Let i = √-1∈ C be a root of X² + 1. Let                   v₁ = (1,0,-1), v₂ = (1 + i,1 − i, 1), v₃ = (i, i, 1).Show that {v₁, v₂, v₃} is a basis of C³ and express the vector v₄ = (1,0,1) as a linear combination of v₁, v₂ and v₃, namely find α₁, α₂, α₃ ∈ C such that v₄ = α₁v₁ + α₂v₂ + α₃v₃.

Problem 2 :Let v₁ = (0,3,3, 1), v₂ = (2, 1, -3, 7), v₃ = (1, 8, 6, 6), v₄ = (1, 10, -4,2) be vectors in R⁴. Let W₁ = span{v₁, v₂} and let W₂ = span{v₃, v₄}. Find the dimension and a basis of W₁∩W₂.

(1) Find an orthogonal matrix P ∈ M₃(R) such that AP is a diagonal matrix.

112年 - 112 國立臺北大學_碩士班入學考試_統計學系﹕基礎數學#130312

112年 - 112 國立政治大學_碩士班暨碩士在職專班招生考試試題_統計學系：基礎數學#130257

112年 - 112 國立中央大學_碩士班考試入學試題_統計研究所碩士班：基礎數學#130249

112年 - 112 國立中山大學_碩士班暨碩士在職專班招生考試_應數系碩士班/甲組:基礎數學#130245

110年 - 110 國立中央大學_碩士班招生考試_統計研究所/不分組(一般生、在職生):基礎數學#105322

110年 - [非官方正解]110 國立政治大學_碩士班暨碩士在職專班招生考試_統計所:基礎數學#105296

110年 - 110 國立中山大學碩士暨碩士專班招生考試_應數系碩士班/甲組:基礎數學#104270

110年 - 110 國立臺北教育大學_碩士班招生考試_數學暨資訊教育學系數學教育：普通數學(含數學教材教法)#99455

108年 - 108東吳大學_碩士班招生考試_數學系B組︰基礎數學#101160

107年 - 107 國立嘉義大學_暨農場管理進修學士學位學程招生考試試題_進修學士班：數學科#144116