題組內容

1. 設隨機變數$X_{\lambda}$之機率密度函數(p.d.f.) 為 $$f(x) = 2\phi(x)\Phi(\lambda x), x \in R,$$ 其中$\phi$為$\mathcal{N}(0, 1)$分佈之p.d.f., $\Phi(x) = \int_{-\infty}^{x} \phi(u) du, \lambda \in R$為一常數。

(iv) 令$\Phi(x; \lambda) = P(X_{\lambda} \leq x), x \in R$。試證$\Phi(x; 1) = (\Phi(x))^2, x \in R$。