申論題

何謂 Spanning Tree？
Spanning Tree（生成樹或擴展樹） 是一個包含圖（Graph）所有頂點的樹（Tree），並且是一個無環的連通子圖。具體特徵包括：

包含所有頂點：生成樹包含圖中的所有頂點（但不一定包含所有邊）。
無環性：生成樹不包含任何回路或環。
連通性：生成樹是連通的，即對於生成樹中的任意兩個頂點，必定存在一條唯一的路徑相連。
如何利用 Spanning Tree 來表示 Graph？
生成樹是圖的一個子集，因此可以通過生成樹來表示圖的某些特性。下面是如何利用生成樹來表示圖的過程：

選擇一個根節點：從圖中的任意一個頂點開始，這個頂點將成為生成樹的根節點。
構建生成樹：使用圖的邊來構建生成樹。這通常可以通過以下幾種常用算法來實現：
深度優先搜索（DFS）：從根節點開始，對每個尚未訪問的相鄰頂點進行遞歸搜索，構建生成樹。
廣度優先搜索（BFS）：從根節點開始，對每個尚未訪問的相鄰頂點進行逐層搜索，構建生成樹。
Kruskal算法：適用於加權無向圖，從小到大選擇邊，確保不形成環，直到所有頂點連通為止。
Prim算法：適用於加權無向圖，從任意頂點開始，選擇權重最小的邊，並逐步擴展生成樹，確保不形成環。
示例
假設有一個無向圖如下：

mathematica
複製程式碼
Graph:
   A---B
  /|   |
 C |   D
  \|   |
   E---F
構建生成樹的步驟如下：

選擇根節點：假設選擇 A 作為根節點。
構建生成樹（使用DFS）：
從 A 開始，訪問 A 的相鄰頂點 B、C。
從 B 繼續訪問 D。
從 C 繼續訪問 E。
最後訪問 E 的相鄰頂點 F。
生成樹可能是：

mathematica
複製程式碼
Spanning Tree:
   A
  / \
 B   C
 |    \
 D     E
        \
         F
使用 Spanning Tree 表示 Graph 的優點
簡化表示：生成樹簡化了圖的結構，只保留了必要的邊，去除了冗餘的邊。
網絡設計：在網絡設計中，生成樹可以幫助設計最小連通網絡，減少冗餘路徑。
路徑查找：生成樹可以幫助在圖中查找最短路徑和最小生成樹，這在網絡優化和數據傳輸中非常有用。
總結來說，生成樹是圖的一個無環連通子集，包含所有頂點並且可以通過多種算法來構建。利用生成樹可以有效表示和處理圖結構，應用於各種網絡設計和優化問題中。