第三題：

A 點坐標(E,N,h)=(100m,100m,100m)，B 點坐標(E,N,h)=(400m,500m,100m)，若各坐標分量之標準差為 ±1m，則 A 點到 B 點空間距離之最或是值為多少？【10 分；未列出計算過程者，不予計分】

完整解題步驟（白話版）：

Step 1：先搞懂符號意思

• E：東西向坐標（橫坐標）

• N：南北向坐標（縱坐標）

• h：高程（高度）

Step 2：計算坐標差值

• ΔE=400−100=300ΔE=400−100=300 m

• ΔN=500−100=400ΔN=500−100=400 m

• Δh=100−100=0Δh=100−100=0 m

Step 3：計算空間距離（最或是值）

• 公式：L=(ΔE)2+(ΔN)2+(Δh)2L=(ΔE)2+(ΔN)2+(Δh)2​

• 代入：L=3002+4002+02=90,000+160,000=250,000=500 mL=3002+4002+02​=90,000+160,000​=250,000​=500m

Step 4：計算標準差（誤差傳播）

• 對距離公式分別對 E、N、h 求偏微分：

  • ∂L∂E=ΔEL=300500=0.6∂E∂L​=LΔE​=500300​=0.6

  • ∂L∂N=ΔNL=400500=0.8∂N∂L​=LΔN​=500400​=0.8

  • ∂L∂h=ΔhL=0500=0∂h∂L​=LΔh​=5000​=0

• 誤差傳播公式：σL2=(0.6)2(1)2+(0.8)2(1)2+(0)2(1)2σL2​=(0.6)2(1)2+(0.8)2(1)2+(0)2(1)2

• σL2=0.36+0.64=1.00σL2​=0.36+0.64=1.00

• σL=±1.00 mσL​=±1.00m

公式符號解釋：

• 標準差（σσ）：測量值的「不確定度」，± 值愈大愈不準。

• 偏微分（∂L∂E∂E∂L​）：表示 E 變化一點點時，L 會變化多少。

法條出處：測量學（誤差傳播定律）。

歷年出現紀錄：★★★★★（105 年、109 年、113 年，測量必考題型）

歷年相關考題：

• 109 年第六題：坐標轉換後的誤差傳播，解法完全相同。

• 113 年第六題：三角高程測量的誤差傳播，偏微分邏輯完全一樣。

考場秒殺心法：
口訣：偏微、平方、相加、開根號

1. 先算距離（畢氏定理）。

2. 再對每個變數求偏微分。

3. 平方相加再開根號。