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114年 - 114-2 臺北市立陽明高級中學_教師甄選試題:數學科#139254
> 申論題
1. 試比較 \( 5^{-\sqrt{2}}\times 7^{-\sqrt{3}} \)、\( 5^{-\sqrt{3}}\times 7^{-\sqrt{2}} \) 兩數的大小。
相關申論題
2. 設 \( f(x)=ax^4+bi\cdot x^3+cx^2+di\cdot x+e \),其中 \( m \)、\( n \)、\( a \)、\( b \)、\( c \)、\( d \)、\( e \) 皆為實數。若 \( m+ni \) 為方程式 \( f(x)=0 \) 的一根,試說明:\( m-ni \)、\( -m+ni \)、\( -m-ni \) 三數中,何者亦必為方程式 \( f(x)=0 \) 的根?
#571674
3. (1) 將質數由小到大排列,第50個質數為229,試估計 \( \log 229 \) 的值。(估計值在 \( [\log 229-10^{-k},\log 229+10^{-k}] \) 內得 \( \frac{(k+1)(k+2)}{2} \) 分)
#571675
(2) 請說明你的估計結果跟實際值 \( \log 229 \) 相比,會是低估或是高估?為什麼?
#571676
4. (1) 設 \( a \)、\( b \) 為正實數,且 \( a>b \),\( \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=3 \),求 \( \frac{a^3+b^3}{a^3-b^3} \)?
#571677
(2) 設 \( a \)、\( b \) 為正實數,且 \( a>b \),\( \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=k \),求 \( \frac{a^3+b^3}{a^3-b^3} \)?(以 \( k \) 表示)
#571678
(1) 已知 且 ,且BE與CD交於P點,若 \( \overrightarrow{AP}=\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC} \),求 \( (\alpha,\beta) \)?
#571679
(2) 已知 且 ,且交於P點,若 \( \overrightarrow{AP}=\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC} \),求 \( (\alpha,\beta) \)?(以 \( a \)、\( b \)、\( c \)、\( d \) 表示)
#571680
6. (1) 試利用數學歸納法證明:對每個大於1的整數 \( n \),恆有\[ \sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\cdots\sqrt{n}}}} < \frac{3}{\sqrt[2^{n-1}]{n+2}} \]請注意:上式右端的分母是 \( n+2 \) 的正 \( 2^{n-1} \) 次方根。
#571681
(2) 試證:對每個大於1的整數 \( n \),恆有 \( \sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\cdots\sqrt{n}}}} < 3 \)。
#571682
1. 有三種未知物P、Q、R,其分子式均為C4H8O。以下是P、Q、R的特性:P能使溴退色,當用金屬鈉處理時並未觀察到氫氣的釋放,且P可被水解,放出含乙醇之產物。Q可以被還原成醇類,產物的分子式為C4H10O。而Q亦可由此醇類產物,經K2Cr2O7的酸性水溶液氧化而得到,但當Q與多倫試劑混合,並不引銀鏡反應。R與溴、金屬鈉、多倫試劑均無明顯反應,但水解後可得一產物,其分子式為C4H10O2。此水解產物可被KMnO4氧化,氧化產物的分子式為C4H6O4。寫出P、Q、R的結構式?
#571683
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