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研究所、轉學考(插大)-基礎數學
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112年 - 112 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系:基礎數學#147045
> 申論題
2. (10%) Find the derivative $f'(x)$ of the function
$$f(x) = \int_x^{x^2} \sqrt{1 + t^3} \, dt$$
相關申論題
3. (20%) Let $$f(x) = \frac{1 + x}{\sqrt{1 - x^2}}$$ (a) (10%) Evaluate the integral $$\int_{-1}^0 f(x) \, dx$$
#603609
(b) (10%) The integral in (a) can be approximated by integrating the linear approximation of the integrand, i.e. let $$f(x) = \frac{1 + x}{\sqrt{1 - x^2}} \approx f(0) + f'(0) x$$ Approximate $\int_{-1}^0 f(x) \, dx$ by evaluating $$\int_{-1}^0 (f(0) + f'(0) x) \, dx$$
#603610
4. (10%) Let $$L(\sigma) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x_i - \mu}{\sigma}\right)^2}, \quad \sigma > 0$$ Where $\mu$ and $x_i, i = 1, 2, \dots, n$ are known values. Find the value of $\sigma$ at which $L(\sigma)$ has its maximum. (Skip any derivative test)
#603611
二、(50%)(所有題目請敘述計算過程,無計算過程不給分) 1. (10%) Let $A, B, C$ be $p \times q, m \times n, n \times p$ matrices and denote the $(i, j)$-entries of $A, B, C$ by $a_{ij}, b_{ij}, c_{ij}$ respectively. (a) (5%) Please write down the \((i,j)\)-entry of the product \(BCA\) in terms of Sigma notations (i.e. \(\Sigma\)).
#603612
(b) \((5\%)\) Please prove that \((BC)^{-1} = C^{-1}B^{-1}\).
#603613
2. (20%) Let $A = \begin{bmatrix} 0 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & -2 \\ -1 & -2 & 0 \end{bmatrix}$ (a) (5%) Write down the characteristic polynomial of \( A \) and use it to find the eigenvalues.
#603614
(b) \((5\%)\) Find the eigenspaces of \(A\)
#603615
(c) (10%) Orthogonally diagonalize the matrix \( A \). (You need to find out an orthogonal matrix \( P \) and a diagonal matrix \( D \) such that \( P^T AP = D \).)
#603616
3. (10%) Let $T: V \to W$ be a linear transformation and $B = \{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n\}$ be a spanning set for $V$. Please show that $T(B) = \{T(\vec{v}_1), T(\vec{v}_2), \dots, T(\vec{v}_n)\}$ spans the range of $T$.
#603617
4. (10%) Let $A$ be a skew-symmetric $n \times n$ matrix (i.e. $A^T = -A$). (a) \((5\%)\) Prove that \(x^{T}Ax = 0\) for all \(x\in R^n\)
#603618
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