5.Find the area of the portion of the plane y + 2z = 2 inside the cylinder x²+ y²= 4.
Answer :___________

詳解 (共 1 筆)

助人為本

詳解 #7394561

2026/06/04

所以這題要使用多變數微積分的表面積公式

所以第一步我們要先改寫平面方程

Z=1-y/2

Z對x偏微=0

Z對y偏微=-1/2

代入表面積公式=雙重積分的D根號1+z對x偏微平方+z對y的偏微dA

算出來為根號5／2提出來

然後後面1的雙重積分的dA就是半徑為2的圓面積4pi

所以算出來為2根號5pi

ㅤㅤ

而這題也可以不用微積分做

只要知道投影面積和法向量

當一個斜面投影在xy平面

斜面面積會等於影子面積乘以放大倍率

所以面積求法就是利用題目給的圓方程式求出半徑等於2

所以面積等於4pi

接著根據平面方程可以得到法向量為(0,1,2)

而放大倍率會等於法向量長度／z分量

然後再相乘即可所求

ㅤㅤ