7. Evaluate the integral 655edf6feacdd.jpgdA, where R is the region inside the upper semicircle of radius 2 centered at the origin, but outside the circle x2 + (y - 1)2 = 1.

詳解 (共 1 筆)

助人為本
助人為本
詳解 #7388484
2026/05/30
所以解這題看到x^2+y^2要想到極座標轉換
所以根據題目的敘述找積分範圍
題目說是上半圓然後半徑為2,所以範圍應該是0<=cita<=pi
然後我們把挖掉的小圓,化簡和上式一樣的極座標型式
所以展開可以得到r=2sincita
所以總結積分範圍從0射線出發,然後碰到2sincita,然後再到2
接著轉換被積分函數
面積dA轉換成dr和dcita要多出一個r
所以列出一個新的積分式
6a1a5e3909c47.jpg
接著先對內積分
6a1a5e5bcbebf.jpg
然後再對外積分
6a1a5e76759cf.jpg
然後這裡要處理一下sin^3cita
所以遇到奇次方,我們的做法就是把它拆成一個和兩個,然後另coscita=u
6a1a5ecd3fed7.jpg
所以最後的答案為8pi/3-32/9
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