【已刪除】115年 - 115-1 臺南市立沙崙國際高級中學高中部_教師甄選試題：數學科(重複)#138677

1. 已知 | logx | = ax +b的三個實根成等比且公比為 2 ，試求 10^b 的值。

2. 如下圖，在 3✖3 方格中，隨機塗上紅色、黃色及綠色，且每種顏色各占 3 格，試求出現「賓果」(即某一橫列、直行 或對角線的顏色完全相同)的機率。

3. 設實數 x 、 y 滿足x²＋ y²  = 4 ，試求x³+y³-3xy的最大值。

4. 設複數 z 滿足  z¹⁰ =1 且 z≠1 ，試求。

5. 設 n 為正整數，若xⁿ除以 ( x-2)( x-3)(x-4)的餘式為 R (x ) ，試求。

6. 設實係數多項式函數f(x)=ax2+(2-a)，其中 − 1≤a≤2  。在坐標平面上，令 Γ 為 y= f(x) 與 x 軸在 -1 ≤ x1≤1所圍的 區域。又令 V 為 Γ繞 x 軸旋轉所得旋轉體的體積。試求體積 V 的最大值。

7. <a_n>滿足 ，則a₃₀₀ =_________。

8. 右圖為一邊長 8 的正立方體包裝盒展開圖，在盒底正中央擺上底面正方形邊長為 6，側面腰長為的四角錐，試 問包裝後正四角錐頂點 A 與正立方體頂點 B 的距離=_______________。

9. 台南沙崙智慧綠能科學城正在舉辦「智慧自駕車迷宮挑戰賽」，目的是推廣人工智慧與智慧交通的科教應用。小安設 計的自駕小車 Tesala(特沙拉) 參賽，並安裝了左、右兩個距離感測器，決策邏輯如下：
(1)當只有正前方有障礙物時，Tesala 會隨機選擇向左轉(L)或向右轉(R)，且機率各為 50%。
(2)統計資料顯示，在沙崙智慧綠能科學城的模擬迷宮中，Tesala 遇到障礙物的情況(事件 O)佔總行駛時間的 30%。
(3)在遇到障礙物的情況下，約有 25% 的機率是左側同時也有障礙物(事件 A)的棘手狀況。
(4)另外，在未遇到障礙物的情況下，仍有約 0.4% 的機率因感測器誤判或環境干擾而顯示「左側有障礙物」。
問題： 若某次比賽中，Tesala 突然進行了左轉避障。請填寫在「左側有障礙物」的條件下，Tesala「遇到障礙 物」的機率為 _____________(四捨五入到小數第 3 位)。

10. 二數列⟨a_n ⟩、⟨b_n ⟩具有a₁ = 1、b₁ = 1，且∀n ∈ N，，求a_n+ b_n =_________。

11. 複數平面上A(α)、B(β)、C(γ)，已知，求|α − β|=________。

12. 空間座標中 = 25的圖形表示二平行平面，則此二平行平面之距離=__________。

二、計算證明題(20%)
1. 設隨機變數 X 的機率分布為幾何分布 G ( p) ，試證隨機變數 X 的期望值 E(X )  =

2. 空間中有一平面E: 2x + 3y − 6z − 24 = 0分別交三軸於 A、B、C 三點，問原點 O 與三點所構成之四面體之外接球與內切球半徑的和=____________。

 (1) 請問您認為【特徵圖 B】應該是如何呈現，理由為何？(5 分)

(2) 【特徵圖 B】運算後的結果，哪些地方數值最高？(5 分)

(3) 如果學生想偵測「斜線」，身為老師的您又該如何引導他修正題目？(5 分)

(4) 或卷積核裡的數字該如何調整？(5 分)