101年 - 101 國立嘉義大學_轉學生招生考試試題_管理學院：微積分#145344

1. 求\( \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x^2+100}-10}{x} \) = __________。

2. 求\[ \lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{5x} \] = _______。

3. 設 \( f(x) = (x^2 + 1)(x^3 - 3x^2 + 3x^2 - 1) \)，求 \( \frac{d}{dx}f(x) \)=__________。

4. 求\[ \frac{d}{dx} \left( e^{\sqrt{3x+2}} \right) \] = ________。

5. 求\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{2\sqrt{x}} \]= _____________。

6. 計算 \[ \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{2\sqrt{x}} \]=__________ 。

7. 計算 \[ \int (x^3 + x)^5 (3x^2 + 1)dx \]= _________。

8. 計算\[ \int_{-1}^{1} 3x^2\sqrt{x^3+1}dx \]= __________。

9. 計算\[ \int \frac{\log_2 x}{\ln 2} dx \] = __________。

10.求\( f(x) = \frac{x^2}{12} + \frac{1}{x}, 1 \le x \le 4 \)的圖形長度為_________ 。

二、 計算題：(每小題 10 分，共 40 分；請寫計算過程)
1. 求 \( \int \frac{1}{x(x^2+1)^2} dx \)。

2. 求\( \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \left(1 - \left(\frac{k}{n}\right)^2\right) \left(\frac{1}{n}\right) \) 。

3. 請判斷無窮級數\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n^{3/2}} \] 是收斂還是發散，並說明你的理由。

4. 若 \( y = \frac{(x^2+1)(x+3)^{1/2}}{x-1} \), \( x > 1 \), 求 \( \frac{dy}{dx} = \)=？