109年 - 109 地方政府特種考試_三等_電力工程、電子工程：工程數學#94911

選擇題 (20)

1 對稱矩陣A=，其對角化矩陣（diagonal matrix），其中P是正交矩陣，求D=？ (A) (B) (C) (D)

2 矩陣A和B，令det A = 6和det B= 2，求 =？ (A)12 (B)6 (C)3 (D)0

3 設a為常數向量（constant vector），，下列何者錯誤？ (A)∇ ∙ r= 3 (B)∇ ∙ (a ×r ) = 0 (C)∇ × r= 0 (D)∇ × (a×r ) =a

4 求 =？ (A)10 (B)15 (C)20 (D)25

5 矩陣，求 =？ (A) (B) (C) (D)

6 下列矩陣何者的秩（rank）等於2。 (A) (B) (C) (D)

7 下列那一個是適合的積分因子（ integrating factor ），乘上它以後，將使微分方程式 (x+y)dx+xln(x)dy=0變成正合（exact）？ (A)x (B)3 (C) (D)

8 微分方程式，其中 y(0) = 2, y'(0) = 6 。以拉普拉斯轉換（Laplace transform）求解後得到，則下列何者錯誤？ (A)a+b+c+d=15 (B)a+b+c−d=7 (C)a−b−c+d=−1 (D)−a+b−c+d=−3

9 設為函數f(x)=x³，之傅立葉級數（Fourier series），其中為常數，下列何者正確？ (A) (B) (C) (D)

10 設為微分方程的通解（general solution），其中a,b ,c,c₁ ,c₂ ,c₃ 為常數，下列何者正確？ (A)a= −1 (B)b= −1 (C)c= −1 (D)a+b+c= −1

11 求積分方程的解。 (A)1 − sin t (B)1 + sin t (C)cos − sin t (D)cos + sin t

12 令連續隨機函數 X 具有機率密度函數，求其變異數（variance）σ² 。（其中 k 為常數） (A) (B) (C) (D)

13 令連續二維隨機變數 X 和 Y 具有機率密度函數，求其機率P(x>0.25Y>0.5)。（其中 k 為常數）(A) (B) (C) (D)

14 求複變函數積分，其中積分路徑C為逆時鐘方向繞圓周|z| = 3。 (A) (B) (C) (D)

15 求複變函數積分，其中積分路徑C為逆時鐘方向繞橢圓周16x²+y²= 4。 (A) (B) (C) (D)

16 複變函數 =？ (A)5i (B)4i (C)3i (D)2i

17 z 為一複數，若 Γ 是平面中一個包含原點 z=0之封閉路徑， =？ (A)0 (B) (C) (D)

18 曲線 C 為平面上一個正向簡單封閉路徑，則 =？ (A)4xsin(2y) (B)2xsin(2y) (C)0 (D)

19 令一曲線 C 為 x = t ² , y = -t , z = t ² , 0 ≤ t ≤ 1 ，則=？ (A) (B) (C) (D)

20 下表所示為 x 及 y 機率質量函數（probability mass function, PMF），則 X 與 Y 之共變異數 COV(X,Y )=？
(A) (B) (C)-1 (D)1

申論題 (8)

一、假設 X 和 Y 為兩個獨立（independent）的隨機變數（random variables），且 X 和 Y 之平均值（mean）均為零，變異數（variance）為σ²的高斯分布（Gaussian distribution）。隨機變數 X 和 Y 的聯合機率密度函數（joint pdf）為：

定義兩個新的隨機變數R及如下：假設，使得。請證明隨機變數R的機率密度函數為。（6分）