111年 - 111 竹北高中教師甄試：數學科 #108241

1. 下圖為邊長為 1 之正六邊形 ABCDEF ，若 ， ， ， ，則 a, b, c, d 中的最大數值為_______ 。 (作答請勿以 a, b, c, d 表示)

2. 已知直線 和  為兩歪斜線，求 L₁ 與 L₂ 的距離為_______ 。

3. 長方形紙片 ABCD 中， = 6 ， = 2√ 3 ，若將此長方形紙片沿 摺起，使 △ADC 與 △ABC 所夾的兩面角為 30° ，此時 ∠BAD = θ ，則 cosθ =_______ 。

4. 若圓 O₁ 與圓 O₂ 的半徑比為 2 : 3，且圓 O₁ 與圓 O₂ 交於 A, B 兩點。過 B 點做一直線分別交圓 O₁ 及圓 O₂ 於 C, D 兩點，且 ∠CAD = ，則 tan ∠ACD =_______  。 

2. 設函數 f : ( ∞,0 )→ℝ，滿足 + 2022 ，  則 f (1000 ) = _______。

3. 設 ，試求 的值為_______ 。 

5. 已知多項式 f ( x), g ( x) 皆為實係數多項式，且 deg f ( x) = 3,deg g ( x) = 2 。

 若 f (3 - 2i ) = g (3 - 2i ) = 0 ， f (0) = 13 ， f (1) = 16 ， g (0) = 26 ， f ( x), g ( x) 的函數圖形 交於 P 點，直線 L 為多項式函數 f ( x) 在 P 點的切線，且直線 L 與多項式函數 f ( x) 所圍成的 F 封閉區域面積為 F；直線 L 與多項式函數 g ( x) 所圍成的封閉區域面積為 G，則 =_______ 。

7. 將 2 個 a 和 2 個 b 共 4 個字母填在右圖中所示的 16 個小方格內， 每個小方格內至多填 1 個字母，若要求相同字母不同行也不同列， 則共有_______ 種不同的填法。

8. 拋物線 y ² = 4cx (c > 0) 的焦點為 F，準線為 L。A、B 是拋物線上的兩動點，且滿足 ∠AFB= ，設線段 AB 的中點 M 在 L 上的投影點為 N，則 的最大值為 _______ 。

9. 某百貨研究六位成年人每週逛街時數 X(小時)與購物消費 Y(萬元)之間的相關性，統計的過程中， 有些數據不小心被墨汁滴到，如下表所示。已知戊的購物消費大於己的購物消費。調查結果得 知逛街時數 X 與購物消費 Y 之間的相關係數為 r，且購物消費 Y 對逛街時數 X 的迴歸直線斜率 為 m，試求(r, m)= _______ 。 

10. 已知級數，其中p,q,r皆為整數，且p,q,r三述兩兩互質，則 p + q + r = _______ 。