112年 - 112 新竹市國民中學教師聯合甄選試題：數學#116643

42. 已知函數f(x)滿足條件f(2+x)=f(2-x)，其中x 為任意實數時都成立，如果方程式f(x)=0恰有四個相異實根，則此四個實根之和為何? (A) 0 (B) 4 (C) 6 (D) 8

43. 某族群有運動習慣(每周三次，每次至少 30 分鐘)的比例為 0.3，令隨機變數 X 表示由此族群中抽取 20 個樣本其中有運動習慣的人數，假設 X 服從二項式分布(Binomial distribution)，則下列敘述何者錯誤？ (A)在這 20 人中有運動習慣的期望值為 6，變異數為 4.2。 (B)假設每個人是否有運動習慣彼此是獨立的。 (C)變數 X 可能的數值為 0~20 人。 (D)假設每一個人有運動習慣的機率是不相同的。

44. 設函數f(x)=，其中x為任意實數，若f (1)=2，則=? (A) (B) (C) (D)

45. 有關拋物線的圖形的兩個敍述，
甲：所有抛物線皆為相似圖形。
乙：所有抛物線的正焦弦皆一樣長。(A)甲和乙皆正確(B)甲正確，乙不正確(C)甲不正確，乙正確(D)甲和乙皆不正確

46. 試問方程式log₂+log₄x+log₄log₂x=之實數解 x 為下列何者？ (A) 1 (B)2 (C) 4 (D) 89

47. 將兩個大小相同正三角形，重疊放置而形成一個六角星形的圖案，其重疊部分的圖形正好是正六邊形(如圖)。如果這六角星形的周長是此正六邊形周長的 a 倍，這六角星形的面積是此正六邊形面積的 b 倍，則 a + b之值為何?
(A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 8

48. 設n為正整數，如果二次函數y=的圖形與 x 軸交於二點，如果線段之長為，則=? (A) (B) (C) 1 (D)

49. 試求無窮級數=？ (A) (B) (C) (D)

50. 試問之值為何？ (A) 1 (B)(C) 2 (D)

51. 設n為正整數，則=? (A) (B) (C)(D)

52. 計算重積分之值，其中區域R= {( x, y) | 0≤x≤1,0≤y≤1}。 (A) (B) (C) (D)

53. 試問無窮級數之值為下列何者? (A) (B) (C) 1 (D)

54. 已知一多項式f(x)=，其中a,b為實數，如果將f(x)除以(x−2)² ，得到餘式為，則b=? (A) -3 (B) -2 (C) 2 (D) 3

55. 已知f(1)=2, f'(1)=1，則=? (A) 1 (B) 4 (C) 5 (D) 6

56. 試求=? (A)(B)(C)(D)

57. 試問=? (A) (B) (C)π(D)

58. (A)1 (B)0 (C)(D)

59. 的極限為 (A)不存在 (B)0 (C)(D)4

60. (A)1 (B) (C)e (D)ln 2

61. y = tan (πx²)的微分 (A)2π sec²x (B)2π sec (πx²) (C)2πx sec (πx²) (D)2π tan²(πx²)

62. 函數 f(x,y) = 3x + 4y，在x² + y² = 1上的極大值為何？ (A)4 (B) (C)5 (D)

63. 求 (A)128 (B)–146 (C)208 (D)–144

64. 下列敘述中何者恆為正確？ (A)函數f(x)=在x = 0處連續 (B) 函數f(x)=|x| 在x = 0處可微 (C)如果級數收斂，則都收斂 (D)必為收斂級數

65. 已知一個袋子裡有 11 顆球，分別編號 1、2、3、...、10、11，今從袋子取出 6 顆球，如果每顆球被取出的機會都相等，則取出的 6 顆球之號碼和是奇數的機率為何? (A) (B) (C) (D)

66. 試判斷下列何者恆正確? (A)已知A與B皆為n階方陣，則AB BA = ，。 (B)四向量(1,0,0,-1), (0,1,0,-1), (0,0,1,-1), (0,0,0,1)必為線性相依(linear dependence)。 (C)設V,W為向量空間，如果T:V→W為線性變換，則T是一對一函數之充要條件為T是映成函數。 (D)n階方陣 A 為可逆矩陣之充要條件為 A 的 n 個列向量為線性獨立。

67. 下列何者是錯誤的？ (A) 如果A為mxn階矩陣，則，其中表示 A 的轉置矩陣(transpose) (B) 已知 A、B 為矩陣使得 AB 有意義，則 rank(AB)≤rank( A )。 (C) 已知 A、B 為矩陣使得 AB 有意義，則 rank(AB)≥rank( B )。 (D)

68. 無窮級數=? (A) (B) (C) (D)π

69. 試問=? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在

70. 求(A)發散 (B)1 (C) 2 (D)0

71. 針對 60 名確診患者，在入院當日與入院 10 日測量病毒量，假設病毒量指標接近常態分布，σ²未知，設定顯著水準α= 0.05，想了解入院當日與入院 10 日之平均病毒量指標有沒有統計上的顯著差異，請問下列何種為較適當的統計檢定方法？ (A)卡方檢定 (B)ANOVA 之 F 檢定 (C)獨立樣本 t 檢定 (D)成對樣本 t 檢定

72. 若 A 和 B 為實數矩陣，下列選項何者一定正確？ (A) AB ≠ BA (B)AB = BA (C)det(AB) = det( A )‧det( B ) (D)det(AB) ≠ det( A )‧det( B )

73. 設V為一個n維向量空間，下列何者恆為不正確？ (A) 任意n −1 個向量必不能生成V (B) 任意n個向量必為線性獨立 (C) 任意n +1個向量必為線性相依 (D) 如果有n個向量能生成(span)V，則此n個向量必構成V的基底。

74. 若 A 為 R 的部份集合，且 f(x): A →R 為一連續函數。
甲：若 f(a) ＜ m ＜ f(b)，則且 f(c) = m 。
乙：若 f(a) = f(b)，則且 f(c) = f(a) = f(b) 。
有關甲、乙的推論，下列選項何者正確？(A)甲和乙皆正確(B)僅甲正確(C)僅乙正確(D)甲和乙皆不正確