112年 - 112 高等考試_三級_電力工程、電子工程、電信工程：工程數學#115776

1 二階微分方程 y"-y'-12y=2sinh²(x)，初始值未知，試問其全解（通解加特解）為何？ (A)(B)(C)(D)

2 二階微分方程 3y"+12y=2tan(2x)，試問其特解為何？(A)(B)(C)(D)

3 函數 f(t) = te^-2t sinωt ，請問其經過拉式轉換（Laplace Transform）後為下列何者？ (A)(B)(C)(D)

4 矩陣，試問 A-1 = ？， B-1 = ？ (A)(B)(C)(D)

5 若，且f(x)=f(x+2)。若f(x)之傅立葉級數（Fourier Series）為，下列何者為非？ (A)(B)(C)(D)

6 一組聯立方程式以的方式表示如下：其中T為常數，若上式之增廣矩陣（augmented matrix）為C，又此一聯立方程式已知有無限多組解，試問rank(C）之最大值為何？T又為何？ (A)rank(C）之最大值為3，T=-3(B)rank(C）之最大值為4，T=3 (C)rank(C）之最大值為2，T=-4 (D)rank(C）之最大值為2，T=3

7 兩向量分別為，請求出=？（其中，為三度空間R³各座標軸之單位向量符號，亦即 (A)(B)(C)(D)

8 一曲線參數式為 x(t)=e^t cos t ， y(t)=e^t sin t ， z(t)=e^t，0 ≤t≤π，其單位切線向量為何？（其中為三度空間R³之單位向量，) (A)(B)(C)(D)

9 利用梯度求解曲面 φ：xy³z²=4在(-1,-1,2)點之法向量的過程與結果，以下何者錯誤？（其中為三度空間R³之單位向量， ） (A) (B)曲面φ在點(-1, -1, 2)上之法向量為(C)曲面φ在點(-1, -1, 2)之單位法向量為(D) 為曲面 φ 在點(-1, -1, 2)之法向量

11 請利用柯西—里曼方程式（Cauchy-Riemann Equation）驗證下列何者非可解析函數（non-analytic function）？（其中Z為複數） (A) f(z)=|z| (B) f(z)=sin z (C) f(z)=z²+2z-1 (D) f(z)=e^z

12 矩陣，試問行列式det(AB)=？ (A)0 (B)576 (C)22 (D)121

13 定義，求 (1+i)¹² 的運算結果為何？ (A)-64 (B)-128 (C)-512 (D)-256

14 函數 f(t) 經拉式轉換後為，試問 f(t) 應為？(A)(B)(C)(D)

15 若且 B=A^-1，請問行列式 det( B2) 為下列何者？(A)1/900 (B)1/700 (C)1/500 (D)1/300

16 已知矩陣具有特徵向量及，請問下列何者可為其對角化（Diagonalization）矩陣？(A)(B)(C)(D)

17 方程式 e^xy'=2(x+1)y² , y(0)=1/6 之解為下列何者？(A)(B)(C)(D)

18 求之反拉式轉換（Inverse Laplace Transform）為下列何者？(A) -2e^-t+t+2 (B)-2e^-t+t+2 (C) -2e^-t+t-2 (D) -2e^-t-t-2

19 求 cosh(at)cos(at) 之拉式轉換為下列何者？（其中a為實數）(A)(B)(C)(D)

20 已知，之值為下列何者？() (A)jπ(B)(C)(D) π

二、求，其中c代表複數平面上逆時針方向繞一圈的單位圓（圓點為圓心且半徑為1的圓）。（10分）

三、求平面 2x-y+2z=1與平面 x-y=2 之夾角θ（ 0≤θ≤90⁰ ）。（10分）

四、， 求特徵值（ eigenvalues ） 與其對應的特徵向量（eigenvectors）。（15分）