1 二階微分方程 y"-y'-12y=2sinh2(x)，初始值未知，試問其全解（通解加特解）為何？
(A)
(B)
(C)
(D)

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統計： A(0), B(2), C(1), D(0), E(0) #3127764

詳解 (共 2 筆)

#5908456


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#5907657

y"-y'-12y = 2 sinh²(x)
齊次解
令 yh = eλx, yh' = λeλx, yh" = λ2eλx
     λ²-λ-12 = 0
     λ = 4 or -3
     yh = C1e4x+C2e-3x
非齊次解
2sinh²(x) = cosh2x-1 = (e2x+e-2x)/2 -1
令 yp = C3e2x+C4e-2x+C5,
     yp' = 2C3e2x-2C4e-2x, 
     yp" = 4C3e2x+4C4e-2x
代入
(4-2-12)C3 = 1/2, C3 = -(1/20)
(4+2-12)C4= 1/2, C4 = -(1/12)
(-12)C5= -1, C3 = 1/12
yp = -(1/20)e2x+(1/12)(-e-2x+1)
y = yh+yp
答案為(B)

FYI: sinh²x = (cosh2x-1)/2
       coshx = (ex+e-x)/2, sinhx = (ex-e-x)/2

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