114年 - 114 國立臺北大學_日間學士班轉學生招生考試試題_統計學系日間學士班2、3年級 金融與合作經營學日間學士班3年級：統計學#147628

科目：研究所、轉學考(插大)◆統計學 | 年份：114年 | 選擇題數：0 | 申論題數：12

試卷資訊

所屬科目：研究所、轉學考(插大)◆統計學

選擇題 (0)

申論題 (12)

一、(10%)若有一銅板出現正面機率為 40%，出現反面機率為 60%，若 $X$ 表示連續獨立的投擲
此銅板八次可以得到正面的次數，則得到 0 次正面機率為何？二次正面的機率為何？
二、(15%)若 $Y$ 具有下列 pdf(probability density function)，$f(y) = 2y$，$0 < y < 1$，
(a) (5%) 請問此是否為一個合理的機率密度函數？
(b) (5%) 請問 Y 的累積機率密度函數 (cumulative density function, cdf) 為何？
(c) (5%) 均數為何？
三、(15%)若 $X$ 與 $Y$ 具有以下之聯合機率質量函數(joint probability mass function, joint, pmf)，

$$f(X, Y) = \frac{X + 2Y}{18}$$

其中 $X=1, 2, Y=1, 2$。

(a) (5%) 請問 X 的邊際質量函數 (marginal probability mass function) 為何？
(b) (10%) X 與 Y 是否為相互獨立之隨機變數？
四、(10%)請依照才比雪夫不等式(Chebyshev's Inequality)估計下列機率值上限。若已知 $X$ 的
平均數為 25，變異數為 16。即請估計

$$P(|X - 25| \ge 12) \le ?$$

五、(10%)連續 10 天，觀察早上 9 點於 10 點間，進入臺北大學門口車輛數如下：

4, 6, 9, 6, 10, 11, 6, 3, 7, 10

假設資料服從 Poisson distribution(卜瓦松分配)分布，具有參數 $\lambda$。請設計並證明一
個 $\lambda$ 的不偏估計式，請計算其估計值，並計算其 95% 信賴區間。

六、(10%)有二個獨立隨機樣本 $(x, y)$，分別抽樣自常態分布 $N(\mux, \sigma^2)$ 與 $(\muy, \sigma^2)$(變異數相
同)，樣本數各為 100，得到樣本均數與樣本變異數值為 $\bar{x} = 4.8, \bar{y} = 5.6, S_x^2 =$
$8.64, S_y^2 = 7.88$。

請求出 $\mux - \muy$ 的 95% 信賴區間。
七、(10%)已知全校有 100 位學生票選 5 位教學績優老師，5 位老師得票數分別為 10, 15, 30, 20,
25。請利用卡方檢定檢定於 5% 顯著水準下，是否至少有 1 位老師得票率特別高？
八、(20%)假定有被解釋變數 Y 為考試成績(Y=100 滿分，Y=0 最低分)，X為班級生師比率(如X = 12 代表一個老師須面對 12 個學生，X = 10 代表一個老師須面對 10 個學生)，研究者蒐集以下資料，執行簡單線性回歸模型去理解生師比對考試成績影響。

| Y | X |
| --- | --- |
| 100 | 5 |
| 90 | 10 |
| 80 | 10 |
| 40 | 20 |
| 50 | 40 |

(a) (10%) 請計算出簡單線性回歸截距項與斜率項的估計值。
(b) (10%) 請問若有地域資訊, 可將全國地理區域區分為北部, 中部, 南部與東部,資料更新如下:

| Y | X | 區域 |
| --- | --- | --- |
| 100 | 5 | 北 |
| 90 | 10 | 北 |
| 80 | 10 | 中 |
| 40 | 20 | 南 |
| 50 | 40 | 東 |
你將如何變更回歸設定，使得可以在控制師生比的影響之下，知道北部區域與其他區域的學生平均成績的差異？

參考資料：

$$t{0.025,200} = 1.96, t{0.025,198} = 1.97, t{0.025,199} = 1.965, z{0.025} = 1.96,$$

| 自由度 | 卡方分布右尾 5%臨界值 |
| --- | --- |
| 2 | 5.99 |
| 4 | 9.49 |
| 6 | 12.59 |
| 8 | 15.51 |
| 10 | 18.31 |

試題隨卷繳交