114年 - 114 教育部自學進修專科學校學力鑑定考試試題_機械、造船、工業、紡織、製鞋技術、機電、礦冶、化學、環境、陶業工程：微積分#137361

1. 考慮函數，以下結果何者正確？(A) (B) (C)(D)

2. 若 f (x) 與 g (x ) 都是可微分的函數，而且具有以下性質： f (0)= 0 、 f '(0) =3  、g(0) =0  、 g'(0) 2  ，則為何？(A)32(B)310(C)0(D) 極限不存在

3. 法國物理學家菲涅耳 (Augustin Fresnel) 曾經引進了以下式子 以計算光在不透明物體周圍彎曲的環境中的電磁場強度。而這個積分在後期還被用於高速公路和鐵路的設計。 關於 S(x) ，它的導函數 S'(x) 為何？ (A) (B) (C)(D)

4. 給定 f (x)= x+1和兩函數，以下敘述何者正確？ (A) 當 x ≤-2 或 x ≥ 0 時， g(f (x )) 是連續函數 (B) 當 -2≤ x≤ 0 時， g( f (x)) 是連續函數 (C) f( g(x)) 在實數集上皆有定義 (D) f (g( x)) 在實數集上連續

5. 考慮函數 ，則 f"(0) 為何？ (A) 1 (B) 3 (C) 300 (D) 600

6. 考慮積分 ，有兩位學生的作答如下：

學生甲： ，其中 C 為常數

學生乙： ，其中 C 為常數以下敘述何者正確？ (A) 兩位學生的作答皆正確 (B) 學生甲作答正確，學生乙作答有誤 (C) 學生乙作答正確，學生甲作答有誤 (D) 兩位學生的作答皆有誤

7. 假設 D 是由曲線y=1 、 y=x²、x= 2 所圍成的區域，則重積分 的值為何？ (A) (B) (C) (D)

8. 若 f (x) 是一個定義在 [-4, 4] 的可積分函數，以下何者正確？ (A) (B) (C) (D)

9. 考慮函數 f (x)= ln(1- 2x ) ，則為何？(A) (B) (C) (D)

10. 假設 a  、b皆為實數，如果 ，則以下何者正確？ (A) (B) a =1 (C) b = 0 (D) b =-1

11. 若 x 、y 、z  滿足x³+y³+z³+6xyz ，則為何？ (A)(B) (C) (D)

12. 不定積分的結果為何？ (A) ，C 為常數 (B) ，C 為常數 (C) ，C 為常數 (D) ，C 為常數

13. 給定函數 ，則以下敘述何者正確？ (A) (B) (C)(D) 不存在

14. 令 S 為曲線 x =y²-1 與直線 y = √2x 所包圍的封閉區域，則 S 的面積為何？ (A)√2 平方單位 (B)平方單位 (C)平方單位 (D)2 √2 平方單位

15. 定積分的值為何？ (A) (B) (C) (D)π²-1

16. 積分 的值為何？ (A) (B)0 (C) (D) 不存在

17. 給定函數 與一定值 a = 3 ，則的值為何？(其中 是 f 的反函數) (A) (B) (C)1 (D)

18. 假設變數 x 、y 滿足方程式2x²+xy+y²-x-2y，則以下敘述何者     錯誤     ？ (A) 當 (x ,y ) =(1,3) 時，方程式的圖形有水平切線 (B) 當 ( x, y) =時，方程式的圖形有水平切線 (C) 方程式的圖形只有一條鉛垂切線 (D) 方程式的圖形恰好有二條鉛垂切線

19. 關於函數 f ( x, y) =2x²+3y²-√3xy-5限制在x²+y²=16上的極值，以下敘述何者正確？ (A) 當 ( x,y )=(-2√3,2) 時，函數 f 有極小值 (B) 當 (x,y) =(2√3,-2) 時，函數 f 有極小值 (C) 當 (x ,y )= ( -2, 2√ 3) 時，函數 f 有極大值 (D) 當 (x ,y )= ( -2, 2 √3)  時，函數 f 有極小值

20. 給定函數 f x y ( , ) 以及封閉區域 D 如下： 、 。 其函數 f 在區域 D 上的曲面面積為何？(曲面面積的公式為) (A) (B) (C) (D)