115年 - 115 臺北市立陽明高級中學正式教師甄選試題：高中數學科#139228

1. lim(n→∞) (2026/n) × [1/(2+1/n)^(1/n) + 1/(2+2/n)^(2/n) + ... + 1/(2+(n-1)/n)^((n-1)/n)] = lim(n→∞) (2026/n) × Σ(k=0 to n-1) 1/(2+k/n)^(k/n) = ？

2. 某學生蒐集到汽水飲用杯數 x 與滿意度 y 的資料如下（杯數 x 可以是任意正實數）：

 飲用杯數 x：0, 1, 2, 3 滿意度 y：0, 2, 3, 0 真實狀況中喝太多汽水滿意度會下降，使用簡單線性模型不合適。若以二次函數 y = ax² + bx 來建模，並用最小平方法來估計參數 a 與 b，則在此模型下，飲用 ＿＿ 杯汽水會有最高的滿意度。

3. 某次定期考因學生平均分數偏低，老師考慮採用下列兩種調分公式：

公式 A：y = 0.6x + 40

公式 B：y = 10√x （其中 x 為原始分數，0 ≤ x ≤ 100，x 為整數，y 為調分後的分數）

試求：除了滿分以外，所有使得「公式 A 調分後結果不低於公式 B」的原始分數 x 之集合。

答：_________

4. 已知三角形 ABC 為正三角形，DEFGHIJK 為正八邊形如下圖，且 E 為 BC 上一點，CE = 2，A, C, D 三點共線，A, B, F, G 四點共線（點 C 介於 A, D 之間，點 B, F 在 AG 上），則 AF = _________

5. 為了解遠處一個鏡面的傾斜程度，對鏡面發射沿著直線 x/2 = y/2 = z/1 前進的雷射光，並測得反射之雷射光沿著直線 (x-2)/2 = (y-5)/3 = (z-18)/6 前進而推算出鏡面的一個法向量 (20, m, n)，則數對 (m, n) = ？

6. 有一部汽車正從地下停車場的斜坡 PB' 方向開上地平面 PA' 方向（如圖所示），若車輪始終保持圓形，A 點與 B 點為其圓心，且半徑 AA' = BB' = 1，AB = 8，∠AA'P = ∠BB'P = 90°，cos(∠A'PB'/2) = 1/√11，

令直線 AB 為 x 軸，點 A(-4,0)，B(4,0)，

已知當 PA' = PB' 時，汽車底盤 AB 距離坡頂 P 點最近，最容易發生底盤擦撞。

請計算當 PA' = PB' 此特定瞬間時，P 點到 AB 的最短距離 d 為？

7. 在等腰三角形 ABC 中，頂角為 θ。若其外接圓半徑 R 與內切圓半徑 r 滿足 R/r = 1 + √2，且此三角形不為直角三角形，則 sin(θ/2) = _________

8. 某高鐵列車共有 12 節車廂，隨機選取其中 3 節設置廁所，在已知這 3 節車廂互不相鄰的條件下，令第 1 節車廂有廁所的機率為 P₁，第 6 節車廂有廁所的機率為 P₆，則數對 (P₁, P₆) = _________

9. 劍橋大學數學家 Tadashi Tokieda 提到一個違反直覺的現象：如果 A、B 兩人不斷擲硬幣，A 要擲到「正反」（順次序）才停止，而 B 要擲到「正正」才停止，那麼平均而言，A 只需要擲 4 次，但 B 需要擲 6 次——即使「正反」和「正正」出現的機率一樣。請問若要擲到「正正反」才停止，則平均而言要擲 ＿＿ 次。

10. 將「aabbbcdefg」共 10 個字母排成一列（相同字母視為相同物）。若規定任一個 a 與任一個 b 皆不得相鄰（相同字母相鄰則不受此限），則共有 ＿＿ 種排列方式。

11. 設 a, b, c, d 為實數，且滿足方程組： a + b = -1 ab + bc + ca = -3 abc + bcd + cda + dab = -5 abcd = 12 則 c + d = _________

12. 已知 n 是比 35 小且與 35 互質的正整數，若 n¹⁹ - 2 為 35 的倍數，則 n 的值為 _________

1. 有 115 個保險箱和 115 把鑰匙。每把鑰匙恰好能打開一個保險箱，每個保險箱裡也只有一把鑰匙。現在主人隨機地在每個保險箱裡面放一把鑰匙，把其中的 24 個保險箱鎖上，而保留 91 個保險箱開著（這個動作是隨機的）。請求出這 91 個打開的保險箱裡的鑰匙，能打開其餘 24 個保險箱的機率是多少？

附註：保險箱一旦被打開，鎖在裡面的鑰匙就可用來試著打開其他的保險箱。

2. 某學生解一個遞迴數列問題的題目與解法如下：

題目：已知數列 {aₙ} 滿足 a₁ = 2，aₙ₊₁ = 4aₙ - 3n + 1，n ∈ N，求一般項 aₙ。

學生的解法：

設 aₙ₊₁ + k = 4(aₙ + k)，

展開可得 aₙ₊₁ + k = 4aₙ + 4k，因此 k = -n + 1/3，

由於 {aₙ + k} 形成公比為 4 的等比數列，因此 aₙ + k = (a₁ + k)4ⁿ⁻¹，

將 k = -n + 1/3 代入可得 aₙ - n + 1/3 = (a₁ - n + 1/3) × 4ⁿ⁻¹，

故 aₙ = (5/3 - n) × 4ⁿ⁻¹ + n - 1/3。

請問學生的解法哪裡有問題？並寫下您會跟學生如何討論以及解惑？

3. 某學生寫了求極限值 lim(x→-2) [(x+1)¹⁰²-1]/(x+2) 的過程如下：

 lim(x→-2) [(x+1)¹⁰²-1]/(x+2) = lim(x→-2) [(x+1)¹⁰⁰(x+1)²-1]/(x+2) = lim(x→-2) [(x+1)¹⁰⁰(x+1)²-(x+1)¹⁰⁰]/(x+2) = lim(x→-2) [(x+1)¹⁰⁰((x+1)²-1)]/(x+2) = lim(x→-2) [(x+1)¹⁰⁰((x+2)x)]/(x+2) = lim(x→-2) (x+1)¹⁰⁰x = -2

但是發現答案不對，也不知道錯在哪裡。

請用高中範圍內的方法算出正確的極限值，並寫下您會跟學生如何討論以及解惑？