115年 - 115 高等考試_三級_統計：統計學#141886

(一)考慮用最小平方法建立簡單直線迴歸模型\[Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \epsilon_i\], i=1,2,...,14，假設誤差\( \varepsilon_1, \varepsilon_2, \dots, \varepsilon_{14} \)彼此相互獨立且服從平均數為0，變異數為σ²之常態分配。求在H₀:β₁=0之下，迴歸之判定係數 （coefficient of determination）R²之機率密度函數。

(二)以14個國家的資料及最小平方法進行估計，若以Y為應變數、X為自 變數作簡單直線迴歸，得\[ \hat{Y} = 40 + 2X \]；但若以X為應變數、Y為自變數作簡單直線迴歸，得\[ \hat{X} = 30 + 0.375Y \]。針對題(一)之模型\(Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i, i = 1, 2, \dots, 14\)，請計算用以檢定迴歸模型整體顯著性 之F檢定統計量之值。

(三)續題(二)，若已知\[ \sum_{i=1}^{14} (X_i - \bar{X})^2 = 100, \text{求} \hat{\beta}_1 \text{的標準誤} \sqrt{Var(\hat{\beta}_1)} \]之估計值。

(一)假設過去針對某枚衛星觀測到一組連線請求間隔時間的隨機樣本T₁T₂,,...,T_n（單位：小時），且假設，i=1,2,...,n。請以隨機樣本T₁T₂,,...,T_n，求出該枚衛星自某時間點起，「等候下一次連線請求的時間在30分鐘以內」之發生機率的最大概似估計量（maximum likelihood estimator）。

(二)已知某極地區域每日連線請求次數N服從具有平均數為50之Poisson 分配，另已知每次請求的資料量為彼此相互獨立，具有平均數0.2MB 的指數分配，亦即，若令Mi為第i次請求連線的資料量，則M₁,M₂,... 為彼此相互獨立且均具有平均數0.2MB的指數分配。假設N與Mi獨立。求該極地區域每日連線總資料量S=的變異數。

(三)衛星聯網需要與地面核心網對接。若已知有三個獨立運行的地面接收站A、B與C，其系統發生「封包遺失」的次數分別符合獨立的Poisson 分配，且其遺失的頻率分別為λ_A=0.3次／小時、λ_B=0.2次／小時及λ_c=0.5次／小時。求一小時內這三個接收站合計發生至少1次封包遺失的機率。

(四)續題(三)，若在某小時內已知這三個接收站合計發生3次封包遺失，求這3次封包遺失全部都不是由A接收站造成的條件機率。

(五)某低軌衛星上裝有三個獨立運作、相互備援的訊號偵測感測器，每個感測器的失效時間均服從平均數為6（年）的指數分布。求這三個感測器中，「最後一個」失效時間的期望值。

(六)續題(五)，若已知這三個感測器中，最早失效的感測器其失效時間已經 超過1年的條件下，求它在未來1年內就會失效的條件機率。

(七)續題(五)，令Zi為第i個感測器的失效時間，求第一個失效的感測器失效後，偵測系統還能存活的時間的期望值\[ E[\text{Max}\{Z_1, Z_2, Z_3\} - \text{Min}\{Z_1, Z_2, Z_3\}] \]。