115年 - 115-1 國立中興大學附屬高級中學_正式教師甄試試題：數學科#138079

1. 設 z 為複數且|z|=1 ，求 |z²+2z-2|的最大值=__________ 。

2. 已知多項 式 f(x)=(x²+x+1)⁵展開後為。 則的值為 __________。

3.△ABC 中，已知 A=90 ，則 △ABC 的面積為___________ 。

4. 求滿足方程式的正實數 x=_________ 。

5. 從正整數 1，2，3，…， n 中任取 相異的 兩數相乘，若這個乘積的算術平均 數為 5 5， 則 n 值為_________ 。

6 . 如右 圖所示 ，二直 線 L₁: x+3y= k₁ 與 L₂:2x+y= k₂相交 於 A 點。在 L₁ 上一點 P₁ 向左走 60 單位到 L₂ 上 的 P₂ 點； 再從 P₂ 向上走 到 L₁ 的 P₃ 點，再從 P₃ 向左走 到 L₂ 上的 P₄ 點； 依此 規則持續走下 去，在 L₁ 上得到 P₁， P₃ ， P₅ ，…， 在 L₂ 上得 P₂， P₄， P₆ ，…， 則=____________ 。

7. 設有甲、乙、丙、丁四台電腦，利用擲一顆公正骰子的方式決定任意兩台電腦是否要連線：若出現奇數點數，則此兩台電腦連線；若出現偶數點數，則此兩台電腦不連線。已知每個傳到其中一台電腦的訊息會 同時傳到其它和這台有連線的電腦。求甲、乙、丙、丁四台電腦的每台電腦都能夠從其它所有電腦收到訊息的機率= ___________。

8. 坐標空間中有一個稜長為 1 的正立方體 OABC-DEFG，示意圖如右圖。 P 點在上，且 =1: 2，若 P 點在平面 ADF 上的投影點為 H 點， 求 H 點到平面 OABC 的最短距離=_________ 。

9. △ABC 中，已知=6 ，且，當 △ABC 面積有最大值時，則 cos A =__________。

10. 有一底面半徑為 3 公分且密度不均勻的圓柱體，傾斜漂浮在靜止的水平面上，水面剛好通過底面直徑且與底面成 45°角，示意圖如右。 求此圓柱體在水面下的立體體積為____________立方公分。(圓周率=π)

 一、設 a、 b 、 c 為正實數，且滿足 a+b+c=4 ，試求 的最小值。

二、某租借站 的車輛 借用狀 況遵循 以下 規則：若 當天有 車，隔 天無車 的機率 為；若當天無車，隔天無車的機率 為。假設第 1 天 該 站有車可借，我們觀察該站的每日車輛狀況序列 ， 定義隨機變數 X 為滿足以下條件 的最 小正整數 ：第 X 天 與第 X＋1 天皆 無車 可借。試求 X 的期 望

(1)求向量內積 =？ (4 分)

(2)若點 K 滿足，其中 x ≥0，y ≥0，z≥0，且 x+ y+ z=1 ，求動點 K 所成的集合之面積？

(1) 求 f (2026) 之值？ (4 分)

(2) 求滿足 f (x)= f (2026)  的最小正數 x=？ (6 分)