115年 - 115-1 國立臺灣師範大學附屬高級中學_專任教師甄選試題：數學科#138411

A. 已知 21! 為 20 位數，計算出其值等於 51090942171709ab0000 ，其中 a, b ∈ {0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9} ，則 (a, b) = _____________。

B. 遊戲公司宣稱某稀有卡片每次能抽取到的機率達 2%，A 玩家不太認同，要進行合理性的檢定，選定幾何分布連續抽取到該稀有卡片為止，並決定顯著水準為 0.01 後，得到拒絕域為區間 [n,∞)，其中 n 為自然數，則 n =_____________。

C. 求= _____________。

D. 平面上，O 為原點，在= 1 的兩條漸近線上分別取點 A、B，使得= 150 。若 P 為中點，且 P 點的軌跡方程式為及，則 qr = _____________。

E. 設 ABCD 為正四面體，若 P 、 Q 、 S 、 R 分別為稜邊上的分點，滿足= 2:1 ，令四邊形 PQRS 與 △BCD 所夾的兩面角為θ，試求cosθ= _____________。

F. 設 A(2,1, −2) 、 B(4, −1, −4) 為空間兩點，原點 O(0, 0, 0) 與 P( x, y, z ) 在平面 E : 2x + 2y − z = 0 上且滿足= 1 ，試求的最小值為_____________。

G. 設三角函數 f (x) = sin⁴x + cos⁴x + sin³x + cos³x + sin²x + cos²x ，令 f(x) 的最大值為 M ，最小值為 m ，試求 M − m =_____________。

H. 令 m 、 n 為正整數，且 m 、 n 滿足，試求之最小值為_____________。

I. 一個半圓裡有個四邊形 ABCD，其中為直徑，且= 2 ，= 9 ，= 12 ，求的長度為_____________。

J. 如圖， I 為 △ABC 之內心，，若= 6 ，= 12，= 9 ，試求= _____________。

K. 在 3 ✕ 3 方格紙的 9 個小格中心隨機選取 4 個分別標記一個記號○。考慮任一小格，若其緊鄰的小格(不含自己)恰有 2 格被標記，則得一分，累計 9 小格的總得分數為隨機變數 X，例：如圖，左下、中、上、右四小格各得 1 分，此時 X = 4。試求 E(X) =_____________。

L. 空間坐標系中，欲從點 A(3, 0, 0) 走捷徑前往點 B(0,3,3) ，每次都只能沿著平行 x 軸、y 軸或 z 軸的方向移動一個單位。試 問在不觸及平面 E : 2 x + 2 y + z = 4 的條件下，一共有_____________種走法。

M. 平面坐標上有三個圓 C₁ : ( x + 5)² + y² = 16 、 C₂ : ( x − 5 )² + y² = 4 、 C₃ : ( x − 29 )² + ( y − 24 )² = 4 ，試問同時與此三個圓外切的圓心坐標為_____________。

N. 已知兩三次函數 f (x) = x³ − x 與 g(x) = ( x − 1)³ − ( x − 1) + 2 的圖形有三條公切線，其中兩條公切線方程式分別為 y = ax + b、y = ax + c ，求 abc = _____________。

O. 圓 Γ₁ 是 △ABC 的外接圓，= 8 、= 7 、= 6 ， D 為直線 BC 上一點，滿足直線 AD 與圓 Γ₁ 相切於 A 點，圓 Γ₂ 通過A、D兩點，且和直線 BD 相切於 D 點，圓 Γ₁ 、圓 Γ₂ 交於 A 、 E 兩點，則=________。

P. 數列<a_n>滿足 a₀ = 1 ，，且為費波納契數列，滿足 F₁ = F₂ = 1 ，若 F₂₀₂₅ 恰為<a_n>的第 m 項，則 m = _____________。

二、非選題：
Q. 某學生解一道題目「已知=5，求。」解法如下：

問該學生解法過程有無錯誤？若有，請指出錯誤與如何對學生說明，並給出正確解法。若無，請給出另一種做法。

R. 在翰林版課本第二冊數列級數的單元中提到，一個圓上有 n 個點互相連成線段之後，將圓的內部分割成最多a_n個區域；

某生在觀察前五項的規律之後，推測一般式，試問此結果正確還是錯誤？若正確請證明；若錯誤，請找出正確的一般式，並解釋之。