115年 - 115-1 臺中市立文華高級中等學校_教師甄選專業知能試題：數學科#138727

1. 從 11、12、13、14、15、16、17、19 共 8 個數字中任取 3 個，則取到的三數其標準差與 25、26、28 三數的標準差相同的機率為_________。

2. 若 P 為△ABC 內部一點(不含邊界)，G 為△ABC 的重心，且滿足，則實數 k 的範圍為_________。

3. 設空間中一點 A(5,5,2)，直線 L 過 A 點且 L 的一個方向向量為 (4,3,1)，另有一平面 E：2x + y + 3z = 7，B 為 L 與 E 之交點，點 C 在 E 上且滿足，試求使△ABC 面積最大之 C 點坐標為_________。

4. 小強有一堆 1 元、5 元、10 元的硬幣，他發現 1 元硬幣的個數大於等於 5 元硬幣的個數，5 元硬幣的個數大於等於 10 元硬幣的個數，10 元硬幣的個數大於等於 8 個，且「1 元硬幣的個數」加上「5 元硬幣的個數的 3 倍」再扣掉「10 元硬幣的個數」剛好是 60 個。則他手上的硬幣總金額最多為_________。

5. 空間向量 (-8+4s+2t, 3+s-3t, 27+5s+t) 的長度最小值為_________。

6. 如下圖，△PQR 為正三角形，A、B、C 分別落在 邊上，且△ABC 中，∠ACB = 90°。若 = 4， = 5， = 7，則 = _________。（圖形僅供參考）

7. 設 f(x)、g(x) 皆為實係數多項式，其中 g(x) 是首項係數為正的二次多項式。已知 (g(x))² 除以 f(x) 的餘式為 a·g(x)，其中 a 為正整數。已知 y = f(x) 的圖形與 x 軸無交點，且 y = g(x) 的頂點 y 坐標為 9，則所有可能的 a 值之和為_________。

8. 空間中，兩點 A(1,-2,-1)、B(3,1,0)，一平面 E：2x - y - 2z - 1 = 0，若 E 上一點 P 使 有最小值 M 時，P 點的坐標為 (x₀, y₀, z₀)，則 (M, x₀, y₀, z₀) = _________。

9. 在 xy 平面上，點集合 F = {(x, y) | |2x + y| + |x - 3y| ≤ 8} 所形成的區域面積為_________。

10. 設 0 ＜ θ ＜ ，則 所有可能的值為_________。

11. 平面上一橢圓 ，將 Γ 繞原點逆時針旋轉 θ（0° ＜ θ ＜ 90°）後得到橢圓 Γ₁，其中 cos θ = ，若 Γ₁ 與 Γ 交四點，則此四點逆時針依序連接成的四邊形面積為_________。

12. 試求 = _________。

13. 若 a, b ∈ ℝ 且滿足以下兩條件：① a + b ∈ ℤ；② ，則 a + b 最大可能的值為_________。

14. 等腰梯形 ABCD 中，M、N 分別為兩腰中點，若已知對角線 = 7，且 = 13，則等腰梯形 ABCD 的面積為_________。

15. 若方程式 x⁴ + 2√3(log₃k)x² + 2 - (log₃k)² = 0 有四個相異實根，則實數 k 的範圍為_________。

16. 現有一堆數量為 n 的白色圍棋棋子，重複以下步驟至分成 n 堆數量為 1 的棋子：

(1) 將數量不是 1 的棋子分成兩堆；

(2) 求剛分成兩堆棋子數量的乘積。

最後求所有乘積的總和為 k。

例如：有一堆數量為 4 的棋子，先分成 2,2 兩堆，得乘積 4；再將其中一堆分成 1,1 兩堆，得乘積 1；再將最後一堆數量為 2 的分成 1,1 兩堆，得乘積 1。所有乘積的總和為 4 + 1 + 1 = 6。

若 k ＞ 2026，則 n 最小值為_________。

二、計算證明題
1. 求數列 的一般項 aₙ = _________。（答案以 n 表示）

2. 若複數 α、β、γ 滿足 |α| = |β| = |γ| = 1，試證明為實數。