96年 - 96 地方政府特種考試_三等_電力工程、電子工程、電信工程：工程數學#36419

科目：工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率) | 年份：96年 | 選擇題數：20 | 申論題數：5

試卷資訊

所屬科目：工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)

選擇題 (20)

1 給定一個離散隨機變數（ discrete random variable ） X ，它的機率質量函數（ probability mass function ）為 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = otherwise x x p x 0, 2 3, 0,1 ( ) 。則 X 的變異值（variance）為何？ (A) 0.50 (B) 0.69 (C) 0.80 (D) 1.90

2 三維隨機變數 X，Y 與 Z 的聯合機率密度函數（joint probability density function）為 ⎩ ⎨ ⎧ ≤ ≤ ≤ = − otherwise e x y z f x y z z X Y Z 0, , 0 ( , , ) , , 。則 X 的邊際機率密度函數（marginal probability density function），fX (x)為何？ (A) ( ) , x fX x e − = 0 ≤ x ≤ ∞ (B) ( ) 2 , 2 x fX x e − = 0 ≤ x ≤ ∞ (C) ( ) 0.5 , 0.5 x fX x e− = 0 ≤ x < ∞ (D) ( ) 2 , 0.5 x fX x e− = 0 ≤ x < ∞

3 假設 f (x) =1，當0 ≤ x ≤ 5，則 f (x) 的傅氏（Fourier）級數展開式為∑ ∞ = − 1 − ] 5 (2 1) sin[ (2 1) 4 n n x n π π ，則下列恆等式，何者正確？ (A) ... 8 1 6 1 4 1 2 1 1 4 = − + − + − π (B) ... 9 1 7 1 5 1 3 1 1 4 = − + − + − π (C) ... 5 1 4 1 3 1 2 1 1 4 = − + − + − π (D) ... 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 4 = + − − + + − − + π

4 將函數 3 4 1 z − z 以 Laurent 級數展開得 ∑ ∞ = + − = − 0 3 4 4 1 1 n n z z z ，其收斂區間為： (A) z > 0 (B)0 < z <1 (C) z >1 (D) z ∈C

5 試求反拉氏轉換（inverse Laplace Transform） {(3 2)/[( 1) 1] } 1 2 2 + + + − L s s 。 (A)e t cost e (cost tsin t) t t − − − − (B) (sin cos ) 2 1 sin 2 3 e t t e t t t t t − − − − (C)e sint e (sint t cost) t t − − − − (D)tsin t − (sint − t cost)

6 若 f (t) 之拉氏轉換（Laplace Transform）為 ( ) 5 /[ ( 2)] 2 F s = s s + s + ，則lim ( ) 0 f t t→ 為： (A) 5/4 (B) 5/2 (C)∞ (D) 0

7 試求微分方程式之通解，其中c1，c2為任意實數。 (A) y c1x c2x 2 = + (B) y = c x + c x ln x + x 2 2 1 2 (C) y = c1x + c2x ln x + x 2 (D) y c x c xe x x = 1 + 2 + 2

8 若 ( ) ( 3 2)[ ( 1) ( 2)] 2 g t = − t − t + u t − − u t − ，試求其拉氏轉換（Laplace Transform）G(s)。 (A) 3 2 3 G(s) e (2 s)/s e (2 s)/s s s = − − + + − − (B) 2 3 2 3 G(s) e (1 s)/s e (1 s)/s s s = − − + + − − (C) 2 3 3 G(s) e (2 s)/s e (2 s)/s s s = − − + + − − (D) 3 2 3 G(s) e (1 s)/s e (1 s)/s s s = − − + + − −

9 假設一個矩陣，它的跡（trace of a matrix）是 10，而其行列式（determinant）值是 24，則此矩陣的特徵值（eigenvalue）為何？ (A)12 + 134 ，12 − 134 (B) 6，4 (C)−6，−4 (D)−2，12

10 下列敘述何者正確？ (A)如果 Q 是一個正交矩陣（orthogonal matrix），λ 是 Q 的一個特徵值（eigenvalue），則 λ = 1 (B)如果向量 x 與向量 y 互相正交（orthogonal），並且 P = A(AT A) 1 AT 是一個投影向量（projection matrix）， n A × ∈ m R ，則 Px 與 Py 互相正交 (C)如果矩陣 B 是由矩陣 A 交換其中二列（row）所形成，則 B 相似（similar）於 A (D)矩陣 A 與矩陣 AT具有相同的特徵值（eigenvalue）與特徵向量（eigenvector）

11 令 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 1 2 4 1 3 A ，則下列何組之向量可構成矩陣 AT的值域空間（range space）？ (A){(1,0)T ,(0,1)T } (B){(1, −2),(0,1)} (C){( −1,0,1)T ,(0,1,1)T } (D){(1,0, −2)T ,(0,1,1)T }

12 假設一個無窮複數級數（infinite series）之和為 z S n ∑ n = ∞ =1 ，則 ∑ ∞ n=1 n z 之值應為何？其中 z 表示 z 的共軛複數（complex conjugate）。 (A) 0 (B)S (C) iS (D)−S

13 令 v 為一常數向量，而 u = xi+yj+zk，則∇⋅(u − v) 等於多少？ (A) 0 (B) 1 (C) 3 (D) v

14 令 C 表示一個從 z = i 至 z = 1 的線段， ∫ ∆ = 4 z dz M C 。則 M 之最小上界（least upper bound）為何？ (A)2 2 (B)4 2 (C) 8 (D)8 2

15 純量場 ( , , ) ln( 3 ) 2 ϕ x y z = x − y + z ，在點（1,2,3）的最大變化率（maximum rate of change）為何？ (A) 1 (B) 3 2 1 (C) 2 3 26 (D) 6 14

16 令 v(x)，w(y)為連續可微分函數，下列何者不滿足偏微分方程式：uuxy = uxuy？ (A)u = v(x)w( y) (B)u = v(x) + w( y) (C) ( ) ( ) w y v x u = (D) ( ) ( ) v x w y u =

17 若 x y = e 1 是微分方程式的一解，試求此微分方程式之通解，其中 c，k 為任意實數。 (A) x x y ce kxe− = + (B) y = c ln x + kx ln x (C) x x y = ce + kxe − (D) y = c ln x − kx ln x

18 定義函數 f (t)的傅利葉轉換（Fourier transform）為 F f t e dt i t ∫ ∞ −∞ − = ω (ω) ( ) ，其中i = −1 。求 ( ) cos( ) 0 f t ω t 的傅利葉轉換為何？ (A) ( ( ) ( )) 2 1 0 0 F ω +ω − F ω −ω (B) ( ( ) ( )) 2 1 0 0 F ω +ω + F ω −ω (C) ( ( ) ( )) 2 1 0 0 F ω +ω − F ω −ω i (D) ( ( ) ( )) 2 1 ω ω 0 ω ω 0 F + + F − i

19 求原點到平面 4x+2y+4z = 12 的距離為何？ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

20 試問微分方程式， y(0) = 5，有幾個解？ (A)無解 (B)無限多解 (C)恰有一解 (D)有限多解

申論題 (5)

一、若 y1、y2 是 .. y +P(x) . y +Q(x)y = 0 的兩個解，試證明 W=y1 2− . y y2 1 . y =k exp[−∫ P(x)dx ]。（10 分）

二、設 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 6 3 2 1 A ，求 sin A。（15 分）

三、利用拉氏轉換（Laplace transform）求解下列初始值問題（initial value problem）： 4 ( ) '' y + y = f t ； y(0) = y'(0) = 0；其中 ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < = , 3 0, 3 ( ) t t t f t 。（15 分）

四、⑴計算∫ ° c dz z z e z ( +1) ，其中 C 為圓 z −1 = 3，z 為複變數。（5 分）

⑵計算∫ ° c dz z z z 3 2 ( 1) 5 3 2 − − + ，其中 C 為包圍z =1的任意封閉曲線。（5 分）