10 下列敘述何者正確？
(A)如果 Q 是一個正交矩陣（orthogonal matrix），λ 是 Q 的一個特徵值（eigenvalue），則 λ = 1
(B)如果向量 x 與向量 y 互相正交（orthogonal），並且 P = A(AT A) 1 AT 是一個投影向量（projection matrix）， n A × ∈ m R ，則 Px 與 Py 互相正交
(C)如果矩陣 B 是由矩陣 A 交換其中二列（row）所形成，則 B 相似（similar）於 A
(D)矩陣 A 與矩陣 AT具有相同的特徵值（eigenvalue）與特徵向量（eigenvector）

1 給定一個 離 散隨機變 數 （ discrete random variable ） X ，它的機 率 質 量 函 數 （ probability mass function ） 為 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = otherwise x x p x 0, 2 3, 0,1 ( ) 。則 X 的變異值（variance）為何？ (A) 0.50 (B) 0.69 (C) 0.80 (D) 1.90

2 三維隨機變數 X，Y 與 Z 的聯合機率密度函數（joint probability density function）為 ⎩ ⎨ ⎧ ≤ ≤ ≤ = − otherwise e x y z f x y z z X Y Z 0, , 0 ( , , ) , , 。 則 X 的邊際機率密度函數（marginal probability density function），fX (x)為何？ (A) ( ) , x fX x e − = 0 ≤ x ≤ ∞ (B) ( ) 2 , 2 x fX x e − = 0 ≤ x ≤ ∞ (C) ( ) 0.5 , 0.5 x fX x e− = 0 ≤ x < ∞ (D) ( ) 2 , 0.5 x fX x e− = 0 ≤ x < ∞

3 假設 f (x) =1，當0 ≤ x ≤ 5，則 f (x) 的傅氏（Fourier）級數展開式為∑ ∞ = − 1 − ] 5 (2 1) sin[ (2 1) 4 n n x n π π ，則下列恆等式，何者正確？ (A) ... 8 1 6 1 4 1 2 1 1 4 = − + − + − π (B) ... 9 1 7 1 5 1 3 1 1 4 = − + − + − π (C) ... 5 1 4 1 3 1 2 1 1 4 = − + − + − π (D) ... 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 4 = + − − + + − − + π

4 將函數 3 4 1 z − z 以 Laurent 級數展開得 ∑ ∞ = + − = − 0 3 4 4 1 1 n n z z z ，其收斂區間為： (A) z > 0 (B)0 < z 1 (D) z ∈C

5 試求反拉氏轉換（inverse Laplace Transform） {(3 2)/[( 1) 1] } 1 2 2 + + + − L s s 。 (A)e t cost e (cost tsin t) t t − − − − (B) (sin cos ) 2 1 sin 2 3 e t t e t t t t t − − − − (C)e sint e (sint t cost) t t − − − − (D)tsin t − (sint − t cost)

6 若 f (t) 之拉氏轉換（Laplace Transform）為 ( ) 5 /[ ( 2)] 2 F s = s s + s + ，則lim ( ) 0 f t t→ 為： (A) 5/4 (B) 5/2 (C)∞ (D) 0

7 試求微分方程式 之通解，其中c1，c2為任意實數。 (A) y c1x c2x 2 = + (B) y = c x + c x ln x + x 2 2 1 2 (C) y = c1x + c2x ln x + x 2 (D) y c x c xe x x = 1 + 2 + 2

8 若 ( ) ( 3 2)[ ( 1) ( 2)] 2 g t = − t − t + u t − − u t − ，試求其拉氏轉換（Laplace Transform）G(s)。 (A) 3 2 3 G(s) e (2 s)/s e (2 s)/s s s = − − + + − − (B) 2 3 2 3 G(s) e (1 s)/s e (1 s)/s s s = − − + + − − (C) 2 3 3 G(s) e (2 s)/s e (2 s)/s s s = − − + + − − (D) 3 2 3 G(s) e (1 s)/s e (1 s)/s s s = − − + + − −

9 假設一個矩陣 ，它的跡（trace of a matrix）是 10，而其行列式（determinant）值是 24，則此矩陣的特徵 值（eigenvalue）為何？ (A)12 + 134 ，12 − 134 (B) 6，4 (C)−6，−4 (D)−2，12

11 令 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 1 2 4 1 3 A ，則下列何組之向量可構成矩陣 AT的值域空間（range space）？ (A){(1,0)T ,(0,1)T } (B){(1, −2),(0,1)} (C){( −1,0,1)T ,(0,1,1)T } (D){(1,0, −2)T ,(0,1,1)T }

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