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工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
> 97年 - 97 身心障礙特種考試_三等_電子工程：工程數學#36637
97年 - 97 身心障礙特種考試_三等_電子工程：工程數學#36637
科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率) |
年份：
97年 |
選擇題數：
20 |
申論題數：
4
試卷資訊
所屬科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
選擇題 (20)
1 有一微分方程式 y′′ + 0.2y′ + 4.01y = 0 , y(0) = 0 , y′(0) = 2 ,下列何者為其解？ (A) y =e
0.1x
sin (−2x ) (B) y= e
0.1x
sin ( 2x) (C) y= e
− 0.1x
sin( − 2 x) (D) y= e
−0.1x
sin ( 2x)
2 下列何者為 R
2
至 R
3
之線性轉換（linear transformation）？
(A) L(x)= (0,x
1
, 0)
T
(B) L(x ) =(x
1
, x
2
, 0 )
T
(C) L(x)= (x
1
+ x
2
, x
1
)
T
(D) L(x)=(x
2
, x
1
+ x
3
, x
2
− x
1
)
T
3 下列敘述何者錯誤？
(A) x
3
y′′′ − 6xy′ + 12y =0 具有 y = x
a
形式的三個線性獨立解
(B) y = sin x是 y′′ − y′ − 2y = cos x + 3sin x 的特解
(C) y′′ − y′ − 2y = 0具有 y = e
ax
形式的兩個相異解
(D) c
1
e
−x
+ c
2
e
2x
y= 是 y′′ − y′ − 2y = 0之通解
4 解微分方程式dy= (e
x
sinx −y) dx 時，需要用到下列那一個積分因子？ (A) e
−x
(B) e
2x
(C) e
−2x
(D) e
x
5 求
？ (A)iπ (B)− iπ (C)π (D)−π
6 估計
？其中δ (x)代表 Dirac Delta Function。 (A)π/3 (B) 3 /π(C)3/2π (D)2π/3
7 下列何者與向量(1, 2, 3), (1,0,2)為線性相依？ (A)(0,0,1) (B)(1,4,4) (C)(0,1,2) (D)(1,1,1)
8 矩陣 M∈ R
n×n
， x∈R
n
為任一向量，下列何者情形時， x
T
Mx ≥0 不一定恆成立。 (A)當 M=A+A
T
(B)當 M=A-A
T
(C)當 M=AA
T
(D)當 M=A
T
A
9 試求函數
的逆拉式轉換（inverse Laplace transform）。 (A)u(t)+tu ( t −1 ) (B)[ 1+ t] u(t −1) (C)tu(t −1) (D)[t −1]u(t −1)
10 試求下列 3×3 Vandermonde 行列式：
？ (A)(α − β )( β −γ)( γ −α ) B)αβγ − (α + β + γ ) (C)(β −α)( α −γ )(γ − β )(D)αβ − βγ −αγ
11 以下何者為 2/t (1−coshat ) 之拉布拉斯轉換式（Laplace transform）？
12 求
=？ (A)− i (B)− 2i (C)− 3i (D)− 4i
13 下列那一個是(− 8 − 8 √3i )
1/ 4
的值？ (A) √3 − i (B)− √3 − i (C)1− √3i (D)−1+ √3i
14 有一函數
，k > 0為常數，則傅立葉係數
？ (A) 0 (B)1− cosnπ (C)
(D) 1
15 定義傅立葉轉換為
，求 F{f (x − a)}=？
16 若向量2i + aj + k, i + 2j − 3k 及3i − 4j + 5k 同在一個平面上，則常數 a 等於？ (A) 4 (B) 0 (C) 3 (D)−1
17 級數
與下列那一級數相等？
18 給定一個常態分布（Normal Distribution）的隨機變數 X，它的期望值（mean）為 5，變異值（variance）為 4，已知 P(X > C ) = 0.84，也就是 X 大於 C 的機率為 0.84。則 C 最接近下列那一個值？ (A)− 3 (B) 0 (C) 3 (D) 6
19 向量函數
在第一象限球面 S：x
2
+ y
2
+ z
2
= 1 (x ≥0 ,y ≥0 ,z ≥0 ) 之面積分
值為： (A)1/3 (B) 4/3π (C)−1 (D) −1/2 π
20 設 x 為連續隨機變數，其機率密度函數為
，求 a。 (A)1/4(B)2/5 (C)1/2 (D)2/3
申論題 (4)
【已刪除】一、求出下 列 微分方程式的解：
（其中
）。（20 分）
【已刪除】二、考慮一條電線四分之一圓的電線 C，其定義為C = {x = 2cos(t), y = 2sin(t),0 ≤ t ≤ π / 2}。假 設在 C 上的質量密度函數為 ρ(x, y) = xy
2
，試計算其質心的座標
。（10 分）
三、給定一個連續的隨機變數 X，它的累積分佈函數（CDF, cumulative distribution function） 為F (x) =(1−e−
3x
), 0＜x＜∞。求此隨機變數 X 的期望值（mean）以及變異值（variance）。 （10 分）
【已刪除】四、設函數 f
1
(x) ,f
2
(x) 分別定義為：
。試問 f
1
, f
2
在閉區間 [ −1, 1] 是線性相依（linearly dependent）或是線性獨立（linearly independent）？並驗證 你的答案。（10 分）
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？ (A)iπ (B)− iπ (C)π (D)−π 
？其中δ (x)代表 Dirac Delta Function。 (A)π/3 (B) 3 /π(C)3/2π (D)2π/3
的逆拉式轉換（inverse Laplace transform）。 (A)u(t)+tu ( t −1 ) (B)[ 1+ t] u(t −1) (C)tu(t −1) (D)[t −1]u(t −1) 
？ (A)(α − β )( β −γ)( γ −α ) B)αβγ − (α + β + γ ) (C)(β −α)( α −γ )(γ − β )(D)αβ − βγ −αγ 
=？ (A)− i (B)− 2i (C)− 3i (D)− 4i 
，k > 0為常數，則傅立葉係數
？ (A) 0 (B)1− cosnπ (C) 
(D) 1 
，求 F{f (x − a)}=？ 
與下列那一級數相等？ 
在第一象限球面 S：x2 + y2 + z2 = 1 (x ≥0 ,y ≥0 ,z ≥0 ) 之面積分
值為： (A)1/3 (B) 4/3π (C)−1 (D) −1/2 π
，求 a。 (A)1/4(B)2/5 (C)1/2 (D)2/3
（其中
）。（20 分） 
。（10 分） 
。試問 f1 , f2 在閉區間 [ −1, 1] 是線性相依（linearly dependent）或是線性獨立（linearly independent）？並驗證 你的答案。（10 分）