15.化簡(√5+√8+√7)(√5+√8-√7)(√5-√8+√7)(√5-√8-√7)=?
(A)-114
(B)-124
(C)-134
(D)-144

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統計： A(9), B(28), C(10), D(7), E(0) #3438459

詳解 (共 2 筆)

#6450170
36-160=-124


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#6434913

化簡：

(5+8+7)(5+8−7)(5−8+7)(5−8−7)(\sqrt{5} + \sqrt{8} + \sqrt{7})(\sqrt{5} + \sqrt{8} - \sqrt{7})(\sqrt{5} - \sqrt{8} + \sqrt{7})(\sqrt{5} - \sqrt{8} - \sqrt{7})(5​+8​+7​)(5​+8​−7​)(5​−8​+7​)(5​−8​−7​)

分組：

把前兩個與後兩個括號分別配對：

  • 第一組：

(5+8+7)(5+8−7)(\sqrt{5} + \sqrt{8} + \sqrt{7})(\sqrt{5} + \sqrt{8} - \sqrt{7})(5​+8​+7​)(5​+8​−7​)

這是形如 (a+b+c)(a+b−c)=(a+b)2−c2(a + b + c)(a + b - c) = (a + b)^2 - c^2(a+b+c)(a+b−c)=(a+b)2−c2

令 a=5a = \sqrt{5}a=5​，b=8b = \sqrt{8}b=8​，c=7c = \sqrt{7}c=7​

所以變成：

[(5+8)2−(7)2][(\sqrt{5} + \sqrt{8})^2 - (\sqrt{7})^2][(5​+8​)2−(7​)2]

先算：

  • (5+8)2=5+8+240=13+240(\sqrt{5} + \sqrt{8})^2 = 5 + 8 + 2\sqrt{40} = 13 + 2\sqrt{40}(5​+8​)2=5+8+240​=13+240​

  • (7)2=7(\sqrt{7})^2 = 7(7​)2=7

所以第一組結果是：

13+240−7=6+24013 + 2\sqrt{40} - 7 = 6 + 2\sqrt{40}13+240​−7=6+240​

第二組：

(5−8+7)(5−8−7)(\sqrt{5} - \sqrt{8} + \sqrt{7})(\sqrt{5} - \sqrt{8} - \sqrt{7})(5​−8​+7​)(5​−8​−7​)

這是形如 (a−b+c)(a−b−c)=(a−b)2−c2(a - b + c)(a - b - c) = (a - b)^2 - c^2(a−b+c)(a−b−c)=(a−b)2−c2

令 a=5a = \sqrt{5}a=5​，b=8b = \sqrt{8}b=8​，c=7c = \sqrt{7}c=7​

[(5−8)2−(7)2][(\sqrt{5} - \sqrt{8})^2 - (\sqrt{7})^2][(5​−8​)2−(7​)2]

先算：

  • (5−8)2=5+8−240=13−240(\sqrt{5} - \sqrt{8})^2 = 5 + 8 - 2\sqrt{40} = 13 - 2\sqrt{40}(5​−8​)2=5+8−240​=13−240​

  • (7)2=7(\sqrt{7})^2 = 7(7​)2=7

所以第二組結果是：

13−240−7=6−24013 - 2\sqrt{40} - 7 = 6 - 2\sqrt{40}13−240​−7=6−240​

現在整個乘起來：

(6+240)(6−240)=62−(240)2=36−4⋅40=36−160=−124(6 + 2\sqrt{40})(6 - 2\sqrt{40}) = 6^2 - (2\sqrt{40})^2 = 36 - 4 \cdot 40 = 36 - 160 = -124(6+240​)(6−240​)=62−(240​)2=36−4⋅40=36−160=−124

✅ 最終答案是：

(B) -124 ✅

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