2. 若一系統之單位步階響應 (unit-step response) 爲 \( y(t) = 1 - e^{-2t} + \sin(3t), t \ge 0 \)，求此系統之脈衝響應 (impulse response) 的拉氏變換 (Laplace transform) 爲何？
(A) \(\frac{2}{s+2} + \frac{3s}{s^2+9}\)
(B) \(\frac{2}{s-2} + \frac{9}{s^2+9}\)
(C) \(\frac{2}{s+2} - \frac{3}{s^2+9}\)
(D) \(\frac{1}{s} - \frac{1}{s+2} + \frac{3}{s^2+9}\)

3. 若一系統輸出的拉氏變換為 \( Y(s) = \frac{8}{s(s^2 + 3s - 4)} \), 且 \( Y(s) \) 之反拉氏變換 (inverse Laplace transform) 為 \( y(t) \), 試求 \( \lim_{t \to \infty} y(t) = ? \) (A) -2 (B) 0 (C) 2 (D) \( \infty \)

4. 若一系統之單位步階響應為 \( y(t) = 1 - 2e^{-t} + e^{-2t}, t \ge 0 \)，求此系統之阻尼比 (damping ratio) \( \zeta \) 為何？ (A) 0.75 (B) 1 (C) \( \frac{3}{2\sqrt{2}} \) (D) \( \sqrt{2} \)

5. 某系統之動態方程式 (dynamic equation) 爲 \[ \dot{\mathbf{x}}(t) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -4 & -3 \end{bmatrix} \mathbf{x}(t) + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} u(t) \] \[ y(t) = \begin{bmatrix} 4 & 0 \end{bmatrix} \mathbf{x}(t) \] 其中 u(t)爲輸入, $\mathbf{x}(t)$ 爲狀態向量, y(t) 爲輸出, 求此系統之自然無阻尼頻率 (natural undamped frequency) 爲何? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

6. 某系統之動態方程式為 \[ \dot{\mathbf{x}}(t) = \begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} \mathbf{x}(t) + \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix} u(t) \]   \[ y(t) = \begin{bmatrix} 1 & 3 \end{bmatrix} \mathbf{x}(t) + 4u(t) \] 其中 u(t) 為輸入, $\mathbf{x}(t)$ 為狀態向量, y(t) 為輸出, 則此系統特徵方程式 (characteristic equation) 的根為何?(A) 1, -3(B) -1, 3(C) -1, -2(D) 3, 1

7. 同第 6 題之系統，下列敘述何者正確？ (A) 系統為狀態可控制 (controllable)，且可觀測 (observable) (B) 系統為狀態不可控制 (uncontrollable)，但可觀測 (observable) (C) 系統為狀態可控制 (controllable)，但不可觀測 (unobservable) (D) 系統為狀態不可控制 (uncontrollable)，且不可觀測 (unobservable)

8. 某單位負回授系統，其開迴路轉移函數為 \( G(s) = \frac{k}{s(s+2)} \)，欲使閉迴路系統之阻尼比爲 0.5，則 \( k \) 值應爲多少？(A) 1(B) \(\sqrt{2}\)(C) 2(D) 4

9. 下列矩陣中，何者滿足狀態轉移矩陣 (state transition matrix) 之性質？(A) \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1-e^{-t} & e^{-t} \end{bmatrix}\)(B) \(\begin{bmatrix} 1-e^{-t} & 0 \\ 1 & e^{-t} \end{bmatrix}\)(C) \(\begin{bmatrix} e^{-t} & 0 \\ 0 & 1-e^{-t} \end{bmatrix}\)(D) \(\begin{bmatrix} e^{-t} & 1 \\ 0 & 1-e^{-t} \end{bmatrix}\)

10. 某系統之動態方程式為 \[ \dot{\mathbf{x}}(t) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \mathbf{x}(t) + \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} u(t) \]   \[ y(t) = \begin{bmatrix} c_1 & c_2 \end{bmatrix} \mathbf{x}(t) \] 其中 \( u(t) \) 為輸入，\( \mathbf{x}(t) \) 為狀態向量，\( y(t) \) 為輸出，滿足此系統為狀態可控制且狀態可觀測之條件為何？(A) \( b_1 \neq 0 \) 且 \( c_1 \neq 0 \)(B) \( b_1 \neq 0 \) 且 \( c_2 \neq 0 \)(C) \( b_2 \neq 0 \) 且 \( c_1 \neq 0 \)(D) \( b_2 \neq 0 \) 且 \( c_2 \neq 0 \)

11. 某一遞迴函數為 F(n) = F(n −1) + F(n − 2) ，若 且 ，則 ？ (A) (B) 21 (C) 34 (D) F(0)=0 F(1)=1 F(8)= 13 55 int sum = 0; int num = 35; for (int i = 1; i <= 2*n; i++) { for (int j = 1; j <= n; j++) { num + = j*3; sum + = num; } } for (int k = 1; k <= n; k++) sum++;

12. 圖(一)所示之程式的時間複雜度 (time complexity) 為何？ (A) (B) (C) (D) O(n) O(n ⋅ ( ) 2 O n ( ) 3 O n log n) 圖(一) 第 3 頁 共 8 頁 電機類 專業科目(二)

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