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線性代數
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103年 - 103 國家安全情報特種考試_三等_數理組（選試英文）：線性代數#42089
> 申論題
題組內容
三、設向量空間 P
n
為次方小於或等於 n 之實多項式。另設函數 T：P
2
→ P
3
定為 T (p(x)) = (x + 1) p (x – 1)。
⑴證明 T 為線性映射（linear transformation）。（5 分）
相關申論題
一、在 R3 空間，找一正交基底（orthogonal basis）含向量 v = [1, 2, 3] T 。（20 分）
#131824
⑴求此線性方程組的一般解。（15 分）
#131825
⑵此解集合最多有幾個線性獨立解？（5 分）
#131826
⑵若 P2, P3 的有序基底（ordered basis）分別為{1, x, x2}, {1, x, x2, x3}，求線性映射 T 對此有序基底的矩陣表示（matrix representation）。（10 分）
#131828
⑶若 q (x) = 3x2 - 5x + 8，利用⑵，求 T (q(x)) =？（5 分）
#131829
四、設 A, B 為 n 階方陣，σ(H)表方陣 H 的所有固有值（eigenvalue）的集合。證明 σ (AB) = σ (BA)。（20 分）
#131830
五、設 V 為一個向量空間，且令 v1 , v2∈V 。請證明 span({v1-2v2 , 2v1+ 3v2 }) = span({v1 + v2 , 2v1- v2 }) 。（15 分）
#544022
四、設 W={(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R 4 : x1+ 2x2+ 3x3+ x4=0} 為 R4 的子空間。對於子空間 W，使用格拉姆 -施密特正交化法 （ Gram-Schmidtorthogonalization），找一正交基底（orthogonal basis）。（20 分）
#544021
三、設 A=，求一正交矩陣（orthogonal matrix）P，使得 P-1AP=D為一對角矩陣（diagonal matrix）。（25 分）
#544020
(二)求一個矩陣 C 使得[T]β=C-1[T]γ C 。（8 分）
#544019
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