申論題

二、在每次賭局中，賭徒每次下注的上限即是他當下手中所擁有的現金。每次贏錢的機率與輸錢的機率分別是p和q= 1 − p。賭徒一共可以下注 n 次而且每次下注的金額為其所擁有的現金成一固定比例α，其中0 ≤α≤ 1。 他的目標為最大化其最後所擁有現金取自然對數後之期望值。當賭徒手上擁有現金x並且還有n次下注機會時，以來表示在此情況下賭徒最大的期望目標值。邊際條件為V₀(x) =ln(x)。

(二)假設p＞1/2，證明，for all 皆成立而且最佳下注策略為每次下注的金額為其當下所擁有的現金之p−q比例。 （10 分）