四、令 v 為自然數， p 為 v 之某質因數。假設對所有整數 x, v 皆滿足 x v ≡ x (mod v )，證明 ( p − 1) | (v − 1) 。【先敘述 p 的原根，Primitive Root modulo p】（20 分）

五、某市放颱風假，出現 to be or not to be 的選擇，請先編碼（Encode）這句英文成為 26 位的數字，記為 D。方法如下：依序接連取 a 為 10，b 為 11，c 為 12，…， y 為 34，z 為 35。設只有 yes 和 not 二種選擇，依上法 yes 編成 6 位數字，記為 Y。not 編成 6 位數字，記為 N。令 26 位數 D = u ⋅ 1013 + v ，其中 u, v 為自然數且 u, v 皆小於 1014 。比較 2i u + i v 和 i Y + i N 的實部與虛部，造成相同數字的 Y 或 N 為其選擇，請問某市選擇 yes 或 not？（20 分）