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107年 - 107 國家安全情報特種考試_三等_數理組（選試英文）：線性代數#74277
> 申論題
題組內容
二、假設矩陣 A 不等於單位矩陣 I，且是 2 × 2 的實係數矩陣，且 A
3
= I。
⑴若 λ 為 A 矩陣的一個固有值（eigenvalue），試證 λ
3
= 1。（10 分）
相關申論題
一、A 是一個 m × n 的矩陣，其秩（rank）為 r，且存在一個 m × 1 的向量 b 使得 Ax = b 是無解，那麼 m、n 及 r 三個量的大小（含等號）關係為何？ （10 分）
#301658
⑵試求 A 矩陣的跡（trace）與行列式（determinant）。（10 分）
#301660
三、考慮平面直線 y = 2 x 的反射線性函數 T，如圖所示，若 A = (a,b)且 T(a,b) = B， 則 ， 試 求 此 線 性 函 數 T 相 對 於 標 準 基 底 β = {(1,0), (0,1)}的矩陣表示[T ]β。（20 分）
#301661
四、假設 T : V → V 為線性函數，且 V 為有限維度的向量空間，且 T 和 T 2 的 秩（rank）相等。試證： R (T ) ∩ N(T ) = {0} ，其中 0 屬向量空間 V 的零 元素，R(T)為 T 的值域，N(T)為 T 的零空間。（25 分）
#301662
五、⑴假設 A 是如下的 3×3 矩陣： 試 求 ： A 的 所 有 固 有 值 （ eigenvalues ） 和 其 相 對 應 的 固 有 向 量 （eigenvectors）。（10 分）
#301663
⑵利用子題⑴之特性，考慮如下的方程式： 3x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 − 2 xz − 1 = 0 試求： x 2 + y 2 + z 2 的最大值且 x, y, z 滿足上述方程式。（15 分）
#301664
五、設 V 為一個向量空間，且令 v1 , v2∈V 。請證明 span({v1-2v2 , 2v1+ 3v2 }) = span({v1 + v2 , 2v1- v2 }) 。（15 分）
#544022
四、設 W={(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R 4 : x1+ 2x2+ 3x3+ x4=0} 為 R4 的子空間。對於子空間 W，使用格拉姆 -施密特正交化法 （ Gram-Schmidtorthogonalization），找一正交基底（orthogonal basis）。（20 分）
#544021
三、設 A=，求一正交矩陣（orthogonal matrix）P，使得 P-1AP=D為一對角矩陣（diagonal matrix）。（25 分）
#544020
(二)求一個矩陣 C 使得[T]β=C-1[T]γ C 。（8 分）
#544019
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