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103年 - 103 國家安全情報特種考試_三等_數理組：數論#43241
> 申論題
題組內容
三、設 ø(n)為尤拉函數（Euler's function）。試證明下列敘述：
⑵若 n > 1 且 ø(n)整除 n − 1，則 n 必然是幾個相異質數的乘積。（8 分）
相關申論題
一、⑴求同餘方程式 17 x 9 (mod 276)的所有整數解。（10 分）
#138638
⑵求聯立同餘方程式 7 x + 3 y 10 (mod 16) , 2 x + 5 y 9 (mod 16)的所有整數解。 （10 分）
#138639
⑴對任一正整數 n， p n +1 ≤ p1p 2 ...p n + 1。（6 分）
#138640
⑵對任一正整數 n， p n +1 ≤ 2 2 n。（14 分）
#138641
⑴若整數 a 與 p 互質，試證明 ax y (mod p)恆有一組整數解(x0 , y0)滿足 0 < |x 0|< √p 且 0 < |y 0| < √p 。（10 分）
#138644
⑵使用⑴的結果，試證明若 p 1 (mod 4)，則 p 可以寫成兩個平方和。（10 分）
#138645
五、⑴ Fn = 22n +1，n ≥ 1 ，稱為費瑪數。若 Fn 為質數，試證明 3 必為 mod Fn 的原根（primitive root modulo Fn）。（10 分）
#138646
(二)令 p 為奇數以及k 為整數且0<k<p ；證明( p- k )!( k-1)! ≡ (-1) k ( mod p ) 。（10 分）
#544011
(一)已知 i= ，計算 gcd(-5+11i, 4+3i ) 之值。 （10 分）
#544010
(二)利用以下對應指數表求解：其中 ind a ( k ) 為使 a n≡k (mod 13) 的最小正整數 n 。以模 13 的原根 2 求解 5 x10 ≡ 2(mod 13) 。（15 分）
#544009
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