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115年 - 115 臺北市立南港高級中學_正式教師甄選_高中數學科#139341
> 申論題
5. 已知 \(|\log_3 x| = ax + b\) 之三個相異實根,由小而大依次成為公比 \(r = 3\) 之等比數列,則其解為何?(三解,以 \(k^m\) 的形式表示)
相關申論題
6. \(\Delta ABC\) 中, \(\angle A = \frac{\pi}{8}, \angle C = \frac{\pi}{4}, \overline{AB} = 8\),求 \(\Delta ABC\) 面積為何?
#571998
7. 右圖是由 \(\overrightarrow{AB}\),\(\overrightarrow{AD}\),\(\overrightarrow{AE}\) 所形成的平行六面體,若 \(\overrightarrow{AB}\),\(\overrightarrow{AD}\),\(\overrightarrow{AE}\) 兩兩的夾角都是 \(60^\circ\),且 \(\overline{AB} = \overline{AD} = \overline{AE} = 3\),點 \(P\) 在 \(\overline{HG}\) 上且 \(\overline{PG} = 2\overline{PH}\),則 \(\overline{AP}\) 的長度為何?
#571999
8. 求 \(\cot \frac{\pi}{24}\) 的值為何?(化為最簡根式)
#572000
9. 假設位於第一象限的點 \(P\) 在 \(\Gamma: x^2 = 4y\) 的圖形上,點 \(Q\) 在正 \(x\) 軸上且滿足 \(\overline{OP} = \overline{OQ}\),直線 \(PQ\) 交 \(y\) 軸於 \(R\)。當 \(P\) 沿曲線 \(\Gamma\) 趨近於原點時,點 \(R\) 的極限座標為何?
#572001
10. 設函數 \(f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}\),滿足 \(f\left(1 - \frac{1}{1+t}\right) + f\left(\frac{1+t}{t}\right)\log|1+t| = f\left(\frac{1+t}{t}\right)\log|t| + 2026\),求 \(f(1000)\) 的值為何?
#572002
11. 坐標平面上,\(x\) 與 \(y\) 坐標均為整數的點為格子點。問在函數圖形 \(y = \log_2 x\)、\(x\) 軸與直線 \(x=20\) 所圍有界區域的內部(不含邊界)共有多少個格子點?
#572003
12. 已知丟某枚銅板,其正面的機率為 \(p\),反面的機率為 \((1-p)\),將此枚銅板丟擲 \(n\) 次,在丟擲過程中,正面第一次出現時,可得獎金 1 元,正面第二次出現時,可再得獎金 2 元,正面第三次出現時,可再得獎金 3 元,以此類推。共得到獎金 \(\frac{1}{2}(n^2 - n)\) 元的機率為何?
#572004
13. 如圖,\(\overline{AB}\) 為圓 \(O\) 之直徑且直線 \(L\) 包含 \(C\)、\(D\)、\(E\) 三點。已知直線 \(L\) 垂直 \(\overline{AB}\) 的延長線於 \(C\) 點。又 \(P\)、\(Q\) 為圓 \(O\) 上兩點,\(\overline{PD}\)、\(\overline{QE}\) 各垂直直線 \(L\) 於 \(D\) 點、\(E\) 點,且 \(\overline{BP} = \overline{PD}\)、\(\overline{BQ} = \overline{QE}\)。試證:\(\overline{BP} + \overline{BQ} = \overline{AB}\)。
#572005
14-1. ① 試問變換 \(M\) 的矩陣為何?
#572006
14-2. ② 試證明變換 \(M\) 將 \(\triangle ABC\) 的重心映射至 \(\triangle A'B'C'\) 的重心。
#572007
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