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工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
> 102年 - 102 鐵路特種考試_高員三級_電力工程、電子工程：工程數學#34212
102年 - 102 鐵路特種考試_高員三級_電力工程、電子工程：工程數學#34212
科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率) |
年份：
102年 |
選擇題數：
20 |
申論題數：
6
試卷資訊
所屬科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
選擇題 (20)
1 一系統由 4 項獨立（independent）運作之組件構成，其組件正常運作之機率分別為 0.9，0.7，0.5 及 0.3， 令隨機變數 X 為該系統中正常運作組件之數量，試求期望值 E(X ) = ？ (A)0.6 (B)1.2 (C) 2.4 (D) 3.6
2 設一隨機變數 X，其期望值（mean value）μ
x
= 8 ，變異數（variance）
；試問機率 P(−4 < X < 20) 之值可能為何？ (A)0.3(B) 0.5(C) 0.75 (D)0.95
3
, │z │<1，則 a
1
=？ (A)-1(B) 0(C) 1 (D)2
4 請計算
之值，其中i =√ −1 ： (A)-4 (B) 11 (C)-6 (D) 0
5 設Γ(t) = t + it, 0 ≤ t ≤1, i = √ −1 ，則
之值為何？ (A)
(B) (1 )
(C)
(D)
6 已知複變數函數
的奇異點（singular point）是為一個極點（pole），試決定此極點的階數 （order）M 及對應的留數（residue）B 分別為何？ (A) M =1,
(B) M =1, 2
(C) M = 2 ,
= (D) M = 2 ,
7 設 A 及 B 為任二 n× n 矩陣，則下列敘述何者錯誤？（答案選項中 det X 表矩陣 X 的行列式值） (A)det kA = k det A （其中 k 為一常數） (B)det(AB) = det(BA) = det A det B (C)det A
T
= det A (D)若det A ≠ 0 ，則 A
−1
必存在
8 請問以下何者是
的特徵值？其中i = √ −1 ： (A) 0 (B) 1 (C)-1 (D) − i
9 若 S 為[ 2 0 0] , [ 0 3 1] 所生成之子空間，求向量 w = [1 1 3]在 S 上之正交投影： (A)
(B)
(C)
(D)
10 令 x = [1 3 2 ]
T
、y
1
= [1 1 1]
T
、 y
2
= [1 −1 0]
T
y
3
= [ 1 0 0]
T
且定義L為 R
3
至 R3 相對於基底（basis） [ y
1
y
2
y
3
] 之線性轉換（linear transformation）：
， 則 L(x) = ？ (A)
(B)
(C)
(D)
11
為何？ (A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 6
【已刪除】12 有一曲面 x
2
+ y
2
+ z
2
=4 ，求經過點(1, 1, 1)且切於該曲面之平面方程式： (A) 2x − y + z = 2 (B) x − y + z =1 (C) x + y + z = 3 (D) x + y − z =1 (E)一律給分
13 若 ϕ(x, y, z) = sin(xy) − cos( yz) + x
2
yz
3
，則其在點 P = (−π , 0, π ) 最陡變化方向（gradient）的旋度（curl） 為何？ (A) π
5
i −j +π
4
k (B)π
5
i + j −π
4
k (C)i − j+ k (D) 0
14 若將三維空間中之曲線 C 以參數表示法表示為 x = 2cos(t) , y = 2sin(t), z = t ；且0 ≤ t ≤ π ，則曲線 C 之 長度為： (A)
(B)
(C) √ 5π (D)3π
15 求解微分方程式
，則其解為何？ (A)
(B)
(C)
(D)
16 下列何者為
之解？（答案選項中之 c 為任意常數。） (A)3x
3
+ 4( y +1) = c (B)3x
4
+ 4( y +1) = c (C) 3x
3
+ 4 ( y+1)
3
= c (D) 3x
4
+ 4( y+1)
3
= c
17 下列何者不為 y′′ − y′ − 2y = 0之解？ (A) y= e
−x
+ e
2x
(B) y= e
−x
(C) y= e
2x
(D) y= e
x
+ e
2x
18 下列何者是 f (t) = 3t − 5sin 2t 的拉氏轉換（Laplace Transform）？
19 下列何者錯誤？其中u(t) 為單位步階（unit step）函數，
為拉氏轉換（Laplace Transform）
20 設 A 為一 n× n 矩陣，且已知 A 的反矩陣 A
−1
存在，則下列敘述何者錯誤？ (A) rank A=rank A
−1
= n (B)det A ≠ 0 且det A
−1
≠ 0 （其中det A 表矩陣 A 的行列式值） (C) detA
− 1
=(detA)
−1
(D)可能存在另一 n× n 矩陣 B，且 B ≠ A
−1
，使得 AB = I （其中 I 為單位矩陣(identity matrix)）
申論題 (6)
【已刪除】一、請用拉氏轉換（Laplace Transform）解聯立微分方程式：（10 分）
【已刪除】二、令 ∑ 是圓錐
, x
2
+ y
2
≤9 的表面，若 n 為 ∑ 之單位法向量且 F = −yi + xj − xyzk 。求
。（15 分）
⑴求 A 的特徵值（eigenvalues）。（5 分）
⑵求 A 的特徵向量（eigenvectors）。（10 分）
求：⑴ X + Y ≤ 3a / 4的機率：P{X + Y ≤ 3a / 4}。（5 分）
⑵Y ≤ 2bX / a的機率：P{ Y ≤ 2bX / a } 。（5 分）
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；試問機率 P(−4 < X < 20)
之值可能為何？
(A)0.3(B) 0.5(C) 0.75 (D)0.95
, │z │<1，則 a1 =？
(A)-1(B) 0(C) 1 (D)2
之值，其中i =√ −1 ：
(A)-4 (B) 11 (C)-6 (D) 0
之值為何？
(A) 
(B) (1 ) 
(C) 
(D) 
的奇異點（singular point）是為一個極點（pole），試決定此極點的階數
（order）M 及對應的留數（residue）B 分別為何？
(A) M =1,
(B) M =1, 2 
(C) M = 2 , 
= (D) M = 2 ,
的特徵值？其中i = √ −1 ：
(A) 0 (B) 1 (C)-1 (D) − i
(B) 
(C)
(D)
，
則 L(x) = ？ (A) 
(B)
(C) 
(D) 
為何？
(A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 6
(B)
(C) √ 5π (D)3π
，則其解為何？
(A)
(B) 
(C) 
(D) 
之解？（答案選項中之 c 為任意常數。）
(A)3x3 + 4( y +1) = c (B)3x4 + 4( y +1) = c (C) 3x3 + 4 ( y+1)3 = c (D) 3x4 + 4( y+1)3 = c
為拉氏轉換（Laplace Transform） 
, x2 + y2 ≤9 的表面，若 n 為 ∑ 之單位法向量且
F = −yi + xj − xyzk 。求
。（15 分）