109年 - 109-1 台中市立台中第一高級中等學校教甄：數學科#85716

1. 已知 z 為複數且滿足| z |=1、| z-1.45 |=1.05，求 z 的實部為                      。

2. 設P(x)=x⁵-x²+1=0的五個根為a₁,a₂,a₃,a₄,a₅，Q(x)=x²+1，則Q(a₁)•Q(a₂)•Q(a₃)•Q(a₄)•Q(a₅)=_______。

3. 設且滿足方程式 ，則 x =____________。

4. 設三次實係數多項式f(x)=ax³+bx²+cx+d滿足2f(2)=3f(3)=4f(4)，且 f(4)=1010，求 f(1)+f(5)=__________。

5. 當桌球比賽比分為 10:10 時，稱為 deuce，此後必須由兩人輪流各發一球，直到其中一名球員比對手多勝 2 分時比 賽結束。依過去經驗知道，甲乙兩人比賽桌球，當甲發球時，甲得分機率為；當乙發球時，乙得分機率為。 今甲乙兩人比賽，目前比分恰為 10:10，接著輪到甲發球，假設各次得分為獨立事件，則從 deuce 發生後開始計算 發球次數，到比賽結束時，兩人發球總次數的期望值為____________次。

6. 已知一四面體 PABC 中，∠APB=∠BPC=∠CPA=60° ，且 △APB、△BPC、△CPA 的面積分別為、2、1，則這個四面體 PABC 的體積為_____________。

7. 第一次段考某班全部學生的國文測驗成績平均為 54 分，標準差為 6 分；國文寫作成績平均為 16 分，標準差為 4 分，兩分數相加後所得總成績的標準差為，若國文寫作成績為 y ，國文寫測驗分數為 x ，則 y 對 x 的迴歸直 線方程式_________________。

8. 將兩個 a 和兩個 b 共四個字母填入如下圖所示的 16 個小方格內，每個小方格內至多填一個字母，若相同的字母必 須不同行也不同列，則共有____________種不同的填法。

9. 已知直線 L:6x-5y-28=0交橢圓( a> b>0,且a,b 皆為正整數) 於兩點 A、C ，且 B(0, b) 為橢圓的頂點。若△ABC 的重心 G 恰為橢圓的右焦點F₂(c,0)，其中，則橢圓 的正焦弦長為____________。

10. 設 O 為△ABC 的外心，若 ，則 sin∠BAC =____________。

11. 在空間中，有三個不共平面的非零向量 ，滿足，求以三向量所張成的平行六面體體積為____________。

12. 已知，且B=(I+ A)^-1( I-A)，求矩陣(I+B )-1=             。

13. 已知數列<a_n>滿足，求=____________。

14. 設是由y=2x-x²與 x 軸所圍成的平面圖形，直線 y=kx將分成兩部分(如下圖所示)，若與的面積分別為S₁與S₂，且S₁:S₂=1:7，求繞 y 軸旋轉一圈的旋轉體體積為____________。

15. 設△ABC 的三邊長分別為 a, b ,c ，且 a+ b+ c=12 ，求的最小值為____________。

16. 已知△ABC 中，∠BAC= 90° ，，若 P 點在△ABC 內部且滿足 ,求序對= ____________。

17. 某電子玩具按下按鈕後，只會出現紅球或白球。若某次出現為紅球，則下次按下按鈕後出現紅球、白球的機率分別為；若某次出現為白球，則下次按下按鈕後出現紅球、白球的機率分別為。已知第一次按下按鈕後出現紅球和白球的機率相等，求第 n 次按下按鈕後出現紅球的機率為____________。

18. 設且cos(α+β)=cosα+cosβ，求 cosα 的最大值為____________。