115年 - [無官方正解]115-1 國立屏科實驗高級中等學校_教師甄選：高中數學科#138645

科目：教甄◆數學 | 年份：115年 | 選擇題數：1 | 申論題數：14

試卷資訊

所屬科目：教甄◆數學

選擇題 (1)

九、已知複數z滿足zⁿ+z⁻ⁿ+2=0，其中n為正整數，將z用極式表示為r(cosθ+isinθ)，且r＞0。試選出正確的選項。
(A) r=1
(B) n不能是偶數
(C) 對給定的n，恰有2n個不同的複數z滿足題設
(D) θ可能是3π/7
(E) θ可能是4π/7
以上為(106指考數甲)的題目，請給出正確答案並針對每一個選項解釋其作法。（10分，計算過程請詳述）

申論題 (14)

一、設函數f(x)=√(x²+4)+√(x²-2x+2)，請使用兩種不同的方法去求函數f(x)的最小值及此時x的值為何？（8分，計算過程請詳述）
二、已知數列{aₙ}滿足a₁=1/2，aₙ₊₁=naₙ/((n+1)(naₙ+1))，求a₁+a₂+⋯+aₙ。（6分，計算過程請詳述）
三、設△ABC的內角∠A、∠B、∠C的對邊分別為a, b, c，若acosC-（1/2）c=b，試求
（一）∠A的大小為何？（3分，計算過程請詳述）
（二）若a=3，求△ABC的周長l的取值範圍為何？（5分，計算過程請詳述）
四、利用單點透視法將坐標空間的點繪製在畫布的坐標平面上。已知
（一）空間中與y軸平行的直線，在畫布上的消失點為(0,15)
（二）空間中與z軸平行的直線，在畫布上都與y軸平行
若點(0,0,0)、(3,4,0)、(3,0,3)繪在畫布上分別為(0,0)、(13/5,2)、(3,3)，則點(3,4,3)繪在畫布上的y坐標為____。（化為最簡分數）（8分，計算過程請詳述）
五、求極限 lim(n→∞) (1/n¹⁰)[1⁹+2⁹+3⁹+⋯+(2n)⁹]=____。（8分，計算過程請詳述）
六、已知點A(a,b)在圖形y=（1/3）x³-3x²+10x-7上，若直線L為以A點為切點的切線，且直線L和兩坐標軸可圍成一個等腰三角形，試求(a,b)=____。（8分，計算過程請詳述）
七、在區間[0,2π]中，函數y=f(x)=sin(2π·sin(x))與x軸共有m個交點，其中有n個交點與x軸相切，試求(m,n)=____。（8分，計算過程請詳述）
八、設空間有四個平面E₁: x+y+z=0、E₂: x+y+z=3、E₃: x+y+z=9及E₄: x+y-z=0，若E₄上有一正三角形ABC，而A、B、C分別也在E₁、E₂、E₃上，試求正三角形ABC的面積為____。（8分，計算過程請詳述）
十、小明想要安排從星期一到星期五共五天的午餐計畫。他的餐點共有四種選擇：牛肉麵、大滷麵、咖哩飯及排骨飯。小明想要依據下列兩原則來安排他的午餐：
（甲）每天只選一種餐點但這五天中每一種餐點至少各點一次
（乙）連續兩天的餐點不能重複且不連續兩天吃麵食
根據上述原則，小明這五天共有幾種不同的午餐計畫？
(1)52 (2)60 (3)68 (4)76 (5)84
上述為106學測的一道試題，近年來學生開始頻繁使用AI來學習。若有學生將此道題目給Gemini Pro，看到學生將AI的做法一字不漏地抄寫在課本/講義的作答區，試問：
（一）身為教師的你想要對學生示範利用AI本身來改善Gemini原先繁瑣的步驟，請就你本身對使用AI工具的經驗，寫出可以對AI改善的指令或是方式。(5分)
（二）在AI引入的世代下，你認為第一線的教師應該做哪些改變？(5分)
十一、國立屏科實中自設校以來便積極推動老師指導學生參加各項競賽，尤其今年學生首次參加2026台灣國際科學展覽會即獲得「行為與社會科學科」三等獎及「地球與環境科學科」四等獎的殊榮。作為一名數學老師，你覺得指導學生做科展應該有什麼樣的步驟，又該注意那些事情，請以條列的方式說明之。(8分)
十二、教育部去年公布「社會情緒學習（SEL）」中長程計畫，若學校內欲推動SEL，請說明你會如何將社會情緒學習的理念，實質運用在日常的數學課堂教學中？請簡述社會情緒學習的概念，並舉出一個具體的實踐策略。(10分)