115年 - 115 普通考試_地震測報：地球物理數學概要#141814

(一)若 Gm= d 為超定問題(over-determined problems)，亦即觀測數據 的 維度大於地下模型的維度，請利用最小平方法(least squares method) 推導其估計解的矩陣表達式。(15 分)

(二)在實際地球物理反演中，如地震波速層析成像(Tomography)或有限 斷層滑移分佈反演(Finite-fault inversion)，核矩陣G經常呈現嚴重的病 態特徵，為了避免反演時產生估計解的劇烈變動，實務上常引入一平 滑矩陣(smoothing matrix) W以約束相鄰模型參數間的平滑度。請利 用廣義阻尼最小平方法(generalized damped least squares method)推 導其估計解的矩陣表達式。 (10 分)

(一)請利用尋求待定係數之思路(推導各階係數 與函數導數之關係) ，透過逐項比較的方法，證明其一般項係數如下：(10 分)

(二)請寫出馬克勞林級數(Maclaurin series)的形式。(5 分)

(三)請推導函數 f(x) = ln(1 +x )的馬克勞林級數展開式，並明確寫出其級數的一般項(第 項)表達式(不用考慮該級數的收斂區間) 。(10 分)

(一)請利用傅立葉熱傳導定律(Fourier's Law of Heat Conduction)與能量守恆原則，推導出此一維熱傳導方程式(如上式) 。(5 分)

(二)請利用分離變數法(separation of variables)求解此一維熱傳導方程式， 並寫出其一般解(general solution)的通式。 (10 分)

(三)考慮溫度只在垂直方向( zA方向)變化，且內部有熱源A (單位體積之產熱率) ，若地熱場達到穩定狀態(steady-state) ，即 \(\frac{\partial T}{\partial t} = 0 \)，則其熱導方程式為：

\( \frac{d^2 T}{dz^2} = -\frac{A}{k} \)

 已知地表( z= 0)處之溫度與熱流觀測值分別滿足：T = 0與 q= − \( -k \frac{dT}{dz} \)=−q₀ (地表的熱流值) ，請推導出地溫分佈 T(z)為何？(10 分)

(一)由於到時T_i與地震定位參數的關係是非線性問題，若給一初始猜測之 震源參數為\(m_0 = [x_0, y_0, z_0, t_0]^T\)，請利用蓋格法(Geiger's method)將 之轉換成到時殘差(∆ )與地震定位參數修正量(∆x , ∆y , ∆z , ∆t )的線 性方程表達式。(10 分)

(二)承(一)，將若干個測站的到時殘差與地震定位參數修正量線性方程組改 寫成矩陣形式，表示為 G∆m = d，其中稱為核矩陣(kernel matrix) ， \(\Delta m = [\Delta x, \Delta y, \Delta z, \Delta t]^T\)為地震定位參數修正量向量， d為各測站的到時 殘差向量。若G為病態矩陣(ill-conditioned matrix)，請利用阻尼最小平方法(damped least squares method)推導其估計解 的矩陣表達式。 (15 分)