115年 - 115 高等考試_二級_機械工程：自動控制學#145822

一、如下圖所示，一質量為 M 之物體於一光滑導軌上，此導軌中心點安裝於 一自由旋轉軸上，右側距中心點 L 的位置施加一外力 F，當導軌旋轉時 因重力作用質量 M 可沿導軌進行直線滑動。左側與施力點等距的位置安 裝一彈簧（K）與阻尼器（B）以限制導軌之轉動。質量 M 距滑軌中心點 的距離為 x，座標系如圖所示以左方為正。導軌之旋轉角度為 ，順時針 為正，導軌水平時  0 ，且此時彈簧 K 與阻尼 B 處於其自然位置，其 作用力為 0。假設小角度 (sin   ) 且 | x | L ，忽略導軌的慣性效應，寫 出此系統於 x 與 兩自由度上的運動方程式，並討論在小角度假設下， 此系統是否可視為一線性系統。若否，提出可行的假設以線性化此系統。 （25 分） x M F  K B L

二、如下圖之單位負回授控制（unity negative feedback control）架構，其受控 s2 廠之開路轉移函數為 G p ( s )  ，請使用根軌跡分析，比較 Gc ( s) 之設 s  10 K 計使用 PID 控制法則 (Gc ( s )  K P  I  K D s ) ，或用相位提前-相位落後 s  s 1 補償器（lead-lag compensator, Gc ( s )  1 ）的差異，並說明何者有機  2s  1 會能藉由控制參數設計以使閉迴路系統穩定。（25 分） R(s) Y(s) Gc(s) Gp(s) + -

(一)請寫出為使閉迴路系統穩定， K P 與 K I 所須滿足的條件。 （10 分）

(二)以根軌跡分析說明，雖然此 PI 控制有兩個獨立可調參數，但此閉迴路 系統之共軛複數根無法隨意由設計者同時指定阻尼比與自然頻率，並藉 以說明此系統之步階響應上升時間（rise time）必然受限的原因。 （15 分） R(s) Y(s) Gc(s) Gp(s) + -

(一)判斷此系統的相位邊限（phase margin） 、增益邊限（gain margin） ，以 及其波德圖（Bode plot）是否會呈現顯著的共振（resonance）現象。 （15 分）

(二)請判斷此受控廠之型態，以及其根軌跡的漸近線數目。（10 分）