115年 - 115-1 國立中央大學附屬中壢高級中學教師甄選試題：數學科#138235

1. 如圖，在地平面的三點 A、B、C，分別測得大樓 OH 樓頂 H 的仰角依序為 θ、2θ、3θ 。已知 240 公尺， 90 公尺，求樓高為_______公尺。

2. 設 z 為複數且 |z| = 1，若 |z ²+iz+1| 的最大值為 a，最小值為 b，則數對 (a , b) =________。

3. 若正數數列<a_n>滿足a₁=1 ，且對於n≥2時皆滿足 ，其中S_n=a₁+a₂+...+a_n ， 則S_n的一般項為___________ 。

4. 化簡 =__________。

5. 有個半徑為 1 單位的圓及圓外一點 P，今由 P 點往此圓作兩條切線可得兩個切點 A、B， 則的最小值為___________ 。

6. 中壢觀光夜市有個遊戲攤位，其遊戲規則如下：
箱子中有編號 1~25 號的球各 1 顆，假設每顆球被抽到的機會相等，每局遊戲皆由箱中任抽兩球，若兩球的號碼在 看板上同行或同列，則可以得到球號相對應的獎金！舉例來說，假設抽到 2 號與 17 號便可得 2 +17=19元；倘若抽 2 號與 6 號就沒有獎金可以拿。今小馬壢參加此遊戲且只玩一次，則小馬壢所得獎金的期望值為________ 。

7. 設 f(x) 是定義在 ℝ 上且週期為 4 的偶函數，當 0≤x≤1時，f(x)=1+ ，而當 2≤x≤3時， f(x)=( x-4)²， 試求：=_________ 。 請繼續翻閱背面 · 。 2

8. 極限值=_____________。

9. 有個半徑為 1 單位的圓以每秒 1.5 單位的速度將圓周沿著斜坡等速往上滾動。 已知斜坡角度為θ且 tanθ=。設點 A 為開始觀察時圓與斜坡的切點， 經過π秒的移動後，點 A 距離地面的高度將增加________單位。

10. 在平面上，點 P₂ , P₃ , …, P₆ 為的等分點，且， 試求：=_____________。

11. 如圖，設△ABC 中，∠C= 90° ，以分別向外作等腰直角三角形 ABD、ACE，點 M 是中點。 若 =_____________。

12. 空間中有 A( 1, 4, 2 )、B( 3, 4, 4 ) 兩點，球面 S 通過 A、B 兩點，其球心 O 在平面 5x－2y＋5z＝3 上。 若平面 E：x＋y＋z＝19 截此球面 S 所得之截圓面積為 F( S )，則 F( S ) 的最小值為 ____________。

(1) 令 ，試求b_n的一般項。(3 分)

(2) 令 ，試求d_n 的一般項。(5 分)

2. 設 a 為整數且x¹³+ x+ 90 可分解為x²- x+ a與一個整係數多項式的乘積，則 a 的值為何？(8 分)